Lagrange'sches Restglied - Fehler abschätzen

Question

ich möchte Abschätzen, wie groß der Wert von ((e^ξ)/4!)*x⁴ sein kann, also wie groß mein Lagrangesches Restglied sein kann.

Wie kann ich da vorgehen?

Comments

Dazu müsste man wissen aus welchem Bereich das ξ ist.

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x0=0 und x=1/5, ist das dann der Bereich?

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Besser wäre der ganze Aufgabentext.

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Berechnen Sie unter Zuhilfenahme des Taylorpolynoms dritten Grades der Funktion exp in x0 = 0 einen Näherungswert von e^(1/5).

Schätzen Sie anschließend den gegenüber dem wahren Wert gemachten Fehler ab.

Hier hatte ich schon über die Taylorentwicklung für e^(1/5)=458/375 rausbekommen.

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Na dann hatte ich ja ungefähr richtig getippt.

Answer 1

Ich rate mal die Aufgabenstellung:

Wie groß ist der Fehler höchstens, wenn man zur Berechnung von f(0,2)

das Taylorpolynom 3. Ordnung benutzt.

Lagrange liefert dann   |  (e^ξ)/4! * 0,2^4 |   mit  ξ ∈ ]0 ; 0,2[

also höchstens  (e^ξ)/4! *0,2^4  ≈  0,050892*0,0016 =0,000081

Probe:  1 + x +x^2 / 2 + x^3/3! gibt für 0,2 den Wert 1,22140275...

und e^(0,2) = 1,2213333333

Also Differenz 0,000069 < 0,000081

Passt also !