Lagrangesches Restglied? f(x)= ln(cos(-x))

Question

Die Funktion \( f:]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\rightarrow \mathbb{R} \) sei gegeben durch \( f(x)=\ln (\cos (-x)) \).

a) Bestimmen Sie das zugehörige Taylorpolynom 2-ten Grades mit Entwicklungsstelle \( x_{0}=0 \).

b) Fehlerschabschätzung: Zeigen Sie (ohne Nutzung des Taschenrechners, d.h. mit vollständigem Rechenweg auf Papier), dass \( \left|R_{2}(x)\right|<2 / 3 \) für \( x \in[-\pi / 4, \pi / 4] \) gilt, wobei \( R_{2}(x) \) das Lagrangesche Restglied ist.

Habe Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe, a hab ich schon, also das Taylorpolynom. Bei b happert es aber noch.

es gibt ja diese Formel für das lagrangesche Restglied mit Theta drin, nur was ist dort Theta und was gebe ich dafür an? Kann ich das frei wählen? Nein oder? Ich versteh leider echt nicht wie man richtig abschätzt.

Answer 1

Hallo jb2417,

du hast doch ein intervall angegeben.Für das Restglied prüfst du m+1 Ableitung also

f^m+1(ξ) = (( f^m+1(ξ))/(m+1!)) * ( ξ-x₀)^m+1

^{In deinem Fall wäre das die 2.te Ableitung. Mit deinem Intervall [-Pi/4, Pi/4] musst du prüfen, wo dein Ergebnis maximal groß ist. Das wäre dann die grobe Abschätzung und das Restglied.}

^{Dein Ergebnis sollte dann kleiner als 2/3 sein.}