Matrix mit Summenzeichen. Geometrische Reihe von Potenzen von Matrizen berechnen

Question

Gegeben:

Matrix A= \( \begin{pmatrix} 0 & 1& 0  \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0  \end{pmatrix} \)

 Berechne: \( \sum\limits_{n=1}^{2019}{A^{n}} \)

Bitte mit Lösungsweg!

Vielen Dank

Answer 1

Berechne mal nacheinander

A^2

A^3

A^4

und du wirst sehen

Es ist A=A^4=A^7=.=A^(2017)

Das sind dann schon mal 673 Summanden, die alle gleich A sind.

Deren Summe ist also

0      673     0
0       0        673
673   0         0.

Für A^2 = A^5 = A^8 entsprechend und

dann noch die mit A^3 = A^6 = A^9 = ..