Integrale mit Betragsstrichen

Question

Aufgabe:

\begin{array} { l } { \text { (i) } \int _ { - 2 } ^ { 2 } | 1 - x | d x } \\ { \text { (ii) } \int _ { 0 } ^ { 5 } | \sin ( \pi x ) | d x } \end{array}

Problem/Ansatz:

Zu i) habe ich oft das hier gefunden:

$$\int _ { 0 } ^ { 2 } | x - 1 | d x$$

Das dann wie folgt aufgeteilt wurde:

$$- \int _ { 0 } ^ { 1 } x - 1 d x + \int _ { 1 } ^ { 2 } x - 1 d x$$

Wie mache ich das aber hier? Verläuft das analog zu i), also dass ich es auch aufteilen muss/muss ich hier eine Fallunterscheidung reinmachen ab x=1, weil das Integral ohne Betragsstriche ab da ins Negative verlaufen würde?

Wolfram Alpha fängt damit so an:

$$\begin{array} { l } { \text { For the integrand } |1 - x| \text { , substitute } u = 1 - x \text { and } d u = - d x \text { . } } \\ { \text { This gives a new lower bound } u = 1 - - 2 = 3 \text { and upper bound } } \\ { u = 1 - 2 = - 1 : } \\ { = - \int _ { 3 } ^ { - 1 } | u | d u } \end{array}$$

Das kann ich aber gerade auch nicht ganz nachvollziehen, wieso (wie) man da so vorgeht?

Das Gleiche bei ii). Bin mir nicht sicher, wie (ob?) ich das aufteilen muss?

Comments

Bei $(\text{i})$ berechnest Du lediglich den Flächeninhalt zweier rechtwinkliger Dreiecke.

---

Hat vielleicht noch jemand einen Ansatz für die ii)? :/

Answer 1

Bei (i) geht es um diese Fläche:

Die kann man elementargeometrisch ausrechnen.

Comments

Ja, die Fläche hatte ich mir auch schon angesehen, da wurde ich nur trotzdem nicht schlauer draus, wie ich das jetzt umsetzen soll? Woher weiß ich denn, was a und b bzw. die Seitenlängen sind?

---

Die Randfunktion |x-1| hat links (vom Knick) die Steigung -1 und rechts (vom Knick) die Steigung 1. Das beide Dreiecke sind gleichschenklig rechtwinklig, Schenkellänge links ist 3 Schenkellänge rechts ist 1.

---

Ah, natürlich! Sorry, das war dämlich. Danke. Und das kann ich einfach so für die Aufgabe ausrechnen und addieren? Scheint mir irgendwie ein wenig zu simpel zu sein, das einfach von einer Grafik abzulesen, aber ich beschwere mich nicht. :D