Absteigende Kette von Mengen, deren Schnitt die leere Menge ist, konstruieren

Question

Sei \( I=\mathbb{N} \) oder \( I=\{1,2, \ldots, n\} \) eine Indexmenge. Wir sagen eine Familie von Mengen \( \left(A_{i}\right)_{i \in I} \) mit \( A_{i} \subseteq \mathbb{N} \) ist eine absteigende Kette falls gilt \( A_{i+1} \subsetneq A_{i} \) für alle \( i, i+1 \in I \).

(a) Sei nun \( I=\mathbb{N} \). Konstruieren Sie eine absteigende Kette \( \left(A_{i}\right)_{i \in I} \) mit \( A_{i} \neq \varnothing \) und

\( \bigcap_{i \in I} A_{i}=\varnothing \)

(b) Beweisen Sie, dass es eine solche Kette wie in (a) nicht geben kann falls \( I \) endlich ist, d.h. \( I=\{1,2, \ldots, n\} \) für ein \( n \in \mathbb{N} \)

Hinweis: Ein indirekter Beweis könnte funktionieren.

Answer 1

Zu  (a). Wähle  A₁ = ℕ  und  A_i+1 = A_i \ { i }  für  i > 0.

Answer 2

zu Aufgabe b) ist die Idee: Eine absteigende Kette kann nicht unendlich sein auf einer endlichen Menge.

zu Aufgabe a) ist die Lösung eigentlich zu schön, um vorgesagt zu werden :)

MfG

Mister

PS: Es gibt mehrere Lösungen für Aufgabe a).