Ist jede umkehrfunktion bijektiv?

Question

Hall o, ich habe kleine fragen

1. ist jede Umkehrfunktion Bijektiv?

2.hat jede funktion eine umkehrfunktion ?

3.wenn eine Funktion Bijektiv ist existiert dann die umkehrfunktion ?

4. ist eine Funktion nicht Bijektiv existiert dann ein Umkehrfunktion?

Answer 1

a) Ja, es gilt \((f^{-1})^{-1}=f\)

b) Das kommt auf den Definitions-  bzw. Wertebereich an. Z.B. besitzt \(f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},x\mapsto x^2\) keine, für \(\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+\) hingegen schon. Ansonsten findest du hier noch ein Bsp.

c) Ja, \(\exists f^{-1} \Leftrightarrow f\) bijektiv.

d) Die Grundvoraussetzung ist, dass eine Funktion injektiv ist. Auf dem Intervall, in dem man eine Umkehrfunktion bilden möchte, muss sie allerdings bijektiv sein (siehe b), ansonsten existiert lediglich eine Umkehrrelation.