Vollständige Induktion
Zeigen Sie, dass die folgende Summenformel gilt:
1)
∑k=1nk3=n2(n+1)24\sum _{ k=1 }^{ n }{ { k }^{ 3 } } =\quad \frac { { n }^{ 2 }({ n+1) }^{ 2 } }{ 4 } k=1∑nk3=4n2(n+1)2
2)
∑k=1n1k(k+1)=nn+1\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k(k+1) } } =\frac { n }{ n+1 }k=1∑nk(k+1)1=n+1n
Brauche Hilfe und würde mich sehr über eine Antwort freuen.
Die Summe ist ein typischer Fall einer Teleskopsumme.
Du findest viele Berechnungen dieser Summe über die Suche.
https://www.mathelounge.de/suche?q=teleskopsumme
Hi, benutze 1n(n+1)=1n−1n+1 \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} n(n+1)1=n1−n+11, daraus folgt∑n=1k1n(n+1)=1−1k+1=kk+1<1 \sum_{n=1}^k \frac{1}{n(n+1)} = 1 - \frac{1}{k+1} = \frac{k}{k+1} < 1 ∑n=1kn(n+1)1=1−k+11=k+1k<1Damit ist die Folge der Partialsummen monoton steigend und beschränkt, also konvergent.
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos
