f: R -> R mit x -> x³ eine lineare Abbildung?

Question

Aufgabe:

Es sei f: ℝ → ℝ   mit x ↦ x³ eine Abbildung. Ist f eine lineare Abbildung?

Problem/Ansatz:

Würde Additivität f(v+w) = f(v) + f(w)  für alle v,w ∈ ℝ  und Homogenität f (λ * v) = λ * f(v) prüfen.

Aber es sind ja keine konkreten Werte oder eine Fkt. gegeben.

Answer 1

Hallo Marceline,

Aber es sind ja keine konkreten Werte oder eine Fkt. gegeben.

die Funktion ist f(x) = x³

Additivität:  f(v+w) = f(v) + f(w)  ist zu prüfen   (habe das in der Frage editiert) 

Gruß Wolfgang

Comments

ok, aber wenn ich jetzt zu der Funktion f (x) = x³  irgendeine andere Funktion, z.B. f(x) = \( x^{17} \) multipliziere, ist doch klar wie Klossbrühe, dass dann dasselbe ist, wie f( x³ +\( x^{17} \). Wie soll man das noch zeigen, das geht doch aus der Definition hervor? Oder mach ich's mir grad zu einfach?

Gleiches bei Homogenität. Ich kann doch theoretisch vor jeder Funktion auf Gottes schöner Erde ein Lambda davorschreiben und das ist das gleiche wie f (λ * x³).

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Was sollen da andere Funktionen?

Die Einsetzungen sind beliebige Zahlen aus ℝ:

z.B.  u = 1 , v = 2

f(1+2)  =  f(3)  = 3³ = 27

ist nicht gleich

 f(1) + f(2)  =  1³ + 2³ = 1 + 8 = 9

→  f ist nicht linear

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Achsoo...hatte gerade nen üblen Denkfehler! Danke für die schnelle Antwort, Wolfgang!

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immer wieder gern :-)