Konvergenz einer Folge per Definition

Question

Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe:

Beweisen Sie die Konvergenz der Folge: c_n= \( \frac{12n^2-3n}{n^2+1} \)

mit Hilfe der Definition.

Ich habe bisher so gemacht:

Der Grenzwert ist 12.

ZZ:  fur jede ε>0 existiert ein n(ε) ∈N so dass gilt: | \( \frac{12n^2-3n}{n^2+1} \) -12| < ε

| \( \frac{12n^2-3n}{n^2+1} \) -12| = | \( \frac{-12-3n}{n^2+1} \)| =  \( \frac{-3n-12}{n^2+1} \) fur n< -4

Aber n ∈ N, also kann nicht negativ sein. Wie gehe ich vor?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Hallo Diana,

\( |\frac{12n^2-3n}{n^2+1}-12| = | \frac{12n^2-3n-(12·(n^2+1)·}{n^2+1}|=|\frac{-3n-12}{n^2+1}| =\frac{3n+12}{n^2+1} < ε \)

⇔  n^2 - 3/ε·n + 1 - 12/ε > 0 

Für die quadratische Gleichung  n^2 - 3/ε·n + 1 - 12/ε = 0

ergibt die pq-Formel

 n = (3 - √(3·(16·ε + 3) - 4·ε^2))/(2·ε)   oder   n = (√(3·(16·ε + 3) - 4·ε^2) + 3)/(2·ε)

       (Nachtrag:   Der Radikand unter der √ ist für genügend kleine ε ∈ ℝ⁺ positiv )

Der Parabelterm (nach oben geöffnet)  ist also  für N(ε) > (√(3·(16·ε + 3) - 4·ε^2) + 3)/(2·ε)  positv 

→  lim c_n = 12

Gruß Wolfgang

Answer 2

hier schätzt du besser ab, dann reduziert es sich auf elementare Umformungen:

|(12n^2-3n)/(n^2+1)-12|

=|(-3n-12)/(n^2+1)|

=(3n+12)/(n^2+1)

<(3n+n)/(n^2)

=4/n<epsilon

4/epsilon<n