Zu zeigen: Teilmenge U offen bezüglich d genau dann wenn U offen bezüglich dc.

Question

Aufgabe:

Es sei (X,d) ein metrischer Raum und c>0. Definiere dc : X x X → R durch dc(x,y) := min {d(x,y),c}

Nun muss ich beweisen, das (X,dc) ein metrischer Raum ist. Das habe ich auch geschafft. Jedoch gibt es noch Folgende Aussage zu beweisen:

Eine Teilmenge U c X ist offen bezüglich d genau dann wenn U offen bezüglich dc.

Ich habe mir überlegt zuerst die eine dann die andere Richtung zu beweisen. Jedoch weiss ich nicht, wie ich dass angehen soll. Hoffe jemand kann helfen.

Answer 1

Sei T ⊂ X offen in (X, d).

Sei t ∈ T.

Sei 0 < ε < c, so dass {x ∈ X | d(x,t) < ε } ⊂ T ist.

Dann ist {x ∈ X | d_c(x,t) < ε } ⊂ T.

Also ist T offen in (X, d_c).

Das wäre die eine Richtung. Bei Sätzen, die mit "Sei" beginnen müsstest du noch begründen, warum die postulierten Objekte existieren. Bei Sätzen, die mit "Dann" beginnen müsstest du noch begründen, warum die schlussfolgerung korrekt ist.