Rekursiv definierte Folge: ao:= 1, a_n+1: = 1/2 (a_n + x/a_n), wobei x>0. Behauptung a_n>0 für alle n.

Question

Aufgabe:

Sei $x>0$ eine reelle Zahl. Betrachten Sie die rekursiv definierte Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in N}$, gegeben durch $a_{0}:=1$ und $a_{n+1}:=1 / 2\left(a_{n}+x / a_{n}\right)$

Zeigen Sie das gilt:

a) $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}>0$ für alle $\mathrm{n} \in \mathrm{N}$.
Hierbei soll man die Vollständige Induktion nutzen, dementsprechend
$\mid A: a 0=1$

IS: $\mathrm{an}+1=1 / 2(\mathrm{an}+\mathrm{x} / \mathrm{an})>0=(\mathrm{IV}: \mathrm{x}>0$ und $\mathrm{an}>0)=>$ von daher eigentlich $1 / 2$ (positiver Wert + positiver Wert/positiver Wert) was $1 / 2^{*}$ positiver Wert wäre und somit immernoch einen positiven Wert ergeben würde aber wie wäre die korrekte Mathematische Notation ?

b) $a_{n}^{2} \geq x$ für alle $n \geq 1$, insbesondere also $a n \neq 0$ für alle $n \in N$

c) $\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} \in \mathrm{N}}$ ist monoton fallend.
So ganz ersichtlich ist mir dies auch nicht, da wenn man sich an+1 ansieht ja $\mathrm{n} \rightarrow \infty$ läuft '? von daher ist ja $1 / 2^{*}(1+1 / 1)=1$ und $1 / 2^{\star}(2+1 / 2)=1,25 ?$ wäre das nicht wenn dann monoton steigend?

d) $a_{n} \geq x / a_{1}$ für alle $n \geq 1$.

$\mathrm{a} 0$ ist 1 , wenn ich nicht total falsch liege steigt der Wert von a je höher $\mathrm{n}$, da $\mathrm{x}$ lediglich größer 0 sein muss könnte man an dieser stelle natürlich 1 nehmen und a1 ist augenscheinlich wohl ebenfalls $1 ?$ dementsprechend $1 \geq 1 / 1$ was ja kein problem wäre, aber wenn man $\mathrm{x}$ größer als 1 wählt geht dies ja augenscheinlich nicht mehr auf. ich hoffe wirklich irgendjemand ist da schlauer als ich.

e) Falls die Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in N}$ konvergiert, sagen wir gegen $a$, so gilt $a>0$ und $a_{2}=x$.

So das wars jetzt auch schon (fast), es folgen noch die Hinweise:

Hinweis. Teil (a): Beweis durch vollst andige Induktion. Teil (b): Zeigen Sie, dass die Differenz $a_{n}{ }^{2}-x$ Quadrat einer reellen Zahl ist. Teil (c): Folgt aus den Teilen a) und b). Teil (d): Beweis durch vollständige Induktion. Teil (e): Rechnen mit Grenzwerten. Denken Sie daran, dass selbstverständlich für jede konvergente Folge $\left(a_{n}\right)_{n} \in N$ gilt: $\lim a_{n}=\lim a_{n+1}$.

Ich hoffe mir kann jemand die entscheidenden Denkanstöße geben und bei einer treffenden Notation helfen.

Answer 1

Zu (a). $a_{n+1}>0$  folgt unmittelbar aus der Definition und $a_n>0$ und $x >0$.
Zu (b). $$\small a_{n+1}^2-x=\frac14\left(a_n+\frac x{a_n}\right)^2-x=\frac14\left(a_n-\frac x{a_n}\right)^2\geq 0$$Zu (c).$$\small a_{n+1}-a_n=\frac12\left(a_n+\frac x{a_n}\right)-a_n=\frac12\left(\frac x{a_n}-a_n\right)=\frac1{2a_n}\left(x-a_n^2\right)<0$$