Aufgabe:
Sei \( x>0 \) eine reelle Zahl. Betrachten Sie die rekursiv definierte Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in N} \), gegeben durch \( a_{0}:=1 \) und \( a_{n+1}:=1 / 2\left(a_{n}+x / a_{n}\right) \)
Zeigen Sie das gilt:
a) \( \mathrm{a}_{\mathrm{n}}>0 \) für alle \( \mathrm{n} \in \mathrm{N} \).
Hierbei soll man die Vollständige Induktion nutzen, dementsprechend
\( \mid A: a 0=1 \)
IS: \( \mathrm{an}+1=1 / 2(\mathrm{an}+\mathrm{x} / \mathrm{an})>0=(\mathrm{IV}: \mathrm{x}>0 \) und \( \mathrm{an}>0)=> \) von daher eigentlich \( 1 / 2 \) (positiver Wert + positiver Wert/positiver Wert) was \( 1 / 2^{*} \) positiver Wert wäre und somit immernoch einen positiven Wert ergeben würde aber wie wäre die korrekte Mathematische Notation ?
b) \( a_{n}^{2} \geq x \) für alle \( n \geq 1 \), insbesondere also \( a n \neq 0 \) für alle \( n \in N \)
c) \( \left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)_{\mathrm{n} \in \mathrm{N}} \) ist monoton fallend.
So ganz ersichtlich ist mir dies auch nicht, da wenn man sich an+1 ansieht ja \( \mathrm{n} \rightarrow \infty \) läuft '? von daher ist ja \( 1 / 2^{*}(1+1 / 1)=1 \) und \( 1 / 2^{\star}(2+1 / 2)=1,25 ? \) wäre das nicht wenn dann monoton steigend?
d) \( a_{n} \geq x / a_{1} \) für alle \( n \geq 1 \).
\( \mathrm{a} 0 \) ist 1 , wenn ich nicht total falsch liege steigt der Wert von a je höher \( \mathrm{n} \), da \( \mathrm{x} \) lediglich größer 0 sein muss könnte man an dieser stelle natürlich 1 nehmen und a1 ist augenscheinlich wohl ebenfalls \( 1 ? \) dementsprechend \( 1 \geq 1 / 1 \) was ja kein problem wäre, aber wenn man \( \mathrm{x} \) größer als 1 wählt geht dies ja augenscheinlich nicht mehr auf. ich hoffe wirklich irgendjemand ist da schlauer als ich.
e) Falls die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in N} \) konvergiert, sagen wir gegen \( a \), so gilt \( a>0 \) und \( a_{2}=x \).
So das wars jetzt auch schon (fast), es folgen noch die Hinweise:
Hinweis. Teil (a): Beweis durch vollst andige Induktion. Teil (b): Zeigen Sie, dass die Differenz \( a_{n}{ }^{2}-x \) Quadrat einer reellen Zahl ist. Teil (c): Folgt aus den Teilen a) und b). Teil (d): Beweis durch vollständige Induktion. Teil (e): Rechnen mit Grenzwerten. Denken Sie daran, dass selbstverständlich für jede konvergente Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \in N \) gilt: \( \lim a_{n}=\lim a_{n+1} \).
Ich hoffe mir kann jemand die entscheidenden Denkanstöße geben und bei einer treffenden Notation helfen.
