Orthonormalbasis der symmetrischen Matrix

Question

Aufgabe:

Sei Matrix B eine symmetrische Matrix mit B=\( \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4\end{pmatrix} \)

Die Eigenwerte sind Lamda 1 und Lamda 2 = 2 und Lamda 3 = 8.

Die zugehörigen Eigenvektoren sind bei E(2)= (\( \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} -1\\0\\1  \end{pmatrix} \) ) = Basis = {\( \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} \) }

und bei E(8) = (\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)) = Basis = {\( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) }

Problem/Ansatz:

ich soll eine ONB aus den Eigenvektoren bestimmen, komme jedoch nicht auf die Lösung.. brauche Hilfe

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Tipp: Wähle die EVs zum EW 2 so, dass diese orthogonal zueinander sind. Anschließend normiert alle EVs.

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Danke für den Tipp !

Answer 1

 Die Eigenvektoren zum Eigenwert 2 sind zu denen zum

Eigenwert ja eh schon northogonal.

Die beiden zum EW 2 zueinander aber nicht.

Da kannst du das Gram-Schmidt Verfahren anwenden bzw.

eine Linearkombination der beiden wählen, die zum ersten orthogonal ist,

etwa mit dem Ansatz   (in Zeilen statt Spalten)

(  a*(-1 ; 1 ; 0 ) +b*(-1 ; 0 ; 1 ) )   *  ( -1 ; 1 ; 0 )  = 0

<=>   2a  - 2b = 0

also einfach nur a=b etwa beide =1 dann hast du als neuen

( -2 ; 1 ; 1 ) und den alten ersten ( 1- ; 1 0) die sind

beide Eigenvektoren zum EW 2 und zueinander orthogonal.

Ein orthogonale Basis ist also

( -2 ; 1 ; 1 )    ,    ( 1- ; 1 0)   ,  ( 1 ; 1 ; 1 ) .

Jetzt noch alle drei normieren gibt  eine ON-Basis:

( 1/√6  ) *( -2 ; 1 ; 1 )    ,  ( 1/√2) *( 1- ; 1 0)   , ( 1/√3  ) *( 1 ; 1 ; 1 ) ..

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vielen vielen Dank ! Verstanden..