Geben Sie eine Matrix an ,so dass die Vektoren bzgl Skalarprodukts ein Orthonormalbasis bildet.

Question

Ich habe die folgenden Vektoren
v1 = (1,0,i)
v2 = (i,1,0)
v3= (-i,0,2)
die Orthonormalbasis bzgl des Skalarprodukts <u,v>  = u.T*A*v(conjugiert) bilden.
Wie kann ich die Matrix A Aus C^{3x3} bestimmen ?

Answer 1

Wenn es ein orthonormal Basis ist, dann muss ja gelten

< v1 , v1 > = 1 und  < v2 , v2 > = 1 und < v3 , v3 > = 1

und für je zwei verschieden etwa < v1 , v2 > = 0   etc.

Das gibt 9 Bedingungen für die Matrix. Also etwa mit

A =

a     b      c
d     e      f
g     h      k

hast du <v1,v1>  = v1^T*A*v1(conjugiert)  = 1 also 

      a + k + (g-c)*i = 1

und   <v1,v2>  = v1^T*A*v2(conjugiert)  = 1 also 

         b + g + ( h - a ) * i = 0

etc. So bekommst du 9 Gleichungen für a,b,c,...