Wahrscheinlichkeit drei Nieten zu ziehen (Stochastik Abiaufgaben)

Question

Aufgabe:

1. In einer Lostrommel befinden sich 50 Nieten und 10 Gewinne.

1.1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisne:

A: Alle drei Lose sind Nieten.

B: Nur das zweite Los ist ein Gewinn.

C: Unter den drei gezogenen Losen sind mindestens ein Gewinn und mindestens eine Niete.

1.2 Das dritte Los ist ein Gewinn. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war auch das erste Los ein Gewinn?

1.3 Von den 50 Nieten werden nun \( \mathrm{k} \) Nieten durch Gewinnlose ersetzt. Dann werden wieder drei Lose nacheinander gezogen. Wie viele Nieten müssen wenigstens ersetzt werden, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als \( 50 \% \) mindestens einen Gewinn erhält?

Abitur 2007, Baden-Württemberg

Die Nr. 1.2 und 1.3 verstehe ich nicht.

Comments

1.2

die wahrscheinlichkeit, beim ersten ziehen zu gewinnen  beträgt 10/60.

kann irgend ein ereignis (z.b. der dritte zug war ein gewinn) diese wahrscheinlichkeit ändern?

Answer 1

hi

für aufg. 1.3 sehe ich drei lösungswege:

 

1)

die wahrscheinlichkeit drei nieten zu ziehen beträgt
p(kein gewinn) = x/60 * (x-1)/59 * (x-2)/58 = (x(x-1)(x-2))/205320
x ist die noch unbekannte gesamtzahl der nieten, x ist eine ganze zahl > 0.

es soll mindestens ein gewinn nach drei mal ziehen möglich sein:
p(mindestens ein gewinn) = 1 - p(kein gewinn) > 0,5
das kann 1 gewinn, können 2 gewinne oder auch 3 gewinne sein.

1 - p(kein gewinn) > 0,5
1 - (x(x-1)(x-2))/205320 > 0,5
- (x(x-1)(x-2))/205320 > 0,5 - 1
- (x(x-1)(x-2))/205320 > -0,5
(x(x-1)(x-2))/205320 < 0,5
x(x-1)(x-2) < 0,5*205320
x(x-1)(x-2) < 102660
x <= 47

die gesamtzahl der nieten beträgt 47, also sind von den 50 nieten 3 nieten
durch gewinnlose zu ersetzen.

2)

du kannst das ergebnis auch mit einer näherung bekommen, indem du
eine konstante wahrscheinlichkeit mit p(nix) annimst:

1 - p(nix)³ > 0,5
p(nix) < 0,5^1/3
p(nix) < 0,7937

x/60 < 0,7937
x < 0,7937*60
x < 0,7937*60
x < 47,622
-> x = 47

und dann eine probe machst:
1 - (47/60 * 46/59 * 45/58) > 0,5
0,5262 > 0,5 OK

und dann, wenn das okay ist auch noch mal prüfst, ob auch x = 48 möglich wären

1 - (48/60 * 47/59 * 46/58) > 0,5
0,4946 < 0,5 nicht OK
die gesamtzahl der nieten ist mit 47 in ordnung.

 

3)

einfach ausprobieren, z.b. mit anzahl  x := gesamtzahl nieten, x = 49 und dann die bedingung

1 - (x/60 * (x-1)/59 * (x-2)/58) > 0,5

mit kleiner werdendem x  so lange testen, bis sie erfüllt ist.

  :-)

 

grüße