Question

Auf Q ist die folgende Relation definiert xRy <--> xy ist das Quadrat einer rationalen Zahl

Aufgabe:

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Hallo

 zeig mal welche Teile du schon hast und woran du scheiterst!

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Du hast die erste Zeile leider abgeschnitten. Das Q scheint dort definiert zu werden

Answer 1

Ich habe im Folgenden angenommen, dass Q = ℚ \ {0}.

Seien x, y, z ∈ Q.

reflexiv: Zu zeigen: xRx
xRx ⇔ ∃ a ∈ Q : a² = x * x. Mit a = x gibt es so ein a (da offensichtlich x² = x * x).

symmetrisch: Zu zeigen: xRy ⇒ yRx (nehme an xRy gilt und zeige, dass dann auch yRx gilt)
xRy ⇔ ∃ a ∈ Q : a² = x * y = y * x ⇔ yRx.
(Wenn es so ein a für x * y gibt, dann auch für y * x, da wegen Kommutativität x * y = y * x.)

transitiv: Zu zeigen: xRy ∧ yRz ⇒ xRz (nehme das links vom Folgepfeil an und zeige rechts)
xRy ∧ yRz ⇔ (∃ p ∈ Q : x * y = p²) ∧ (∃ q ∈ Q : y * z = q²)
Wähle diese p, q ∈ Q wie im vorigen Ausdruck. Dann gilt:
x * z = (x * z) * y²/y² = ((x * y) * (z * y)) / y² = (p² * q²) / y² = ((p * q) / y)².
D.h. mit ((p * q) / y) gibt es ein r, sodass x * z = r. Damit dann xRz.

Da R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, folgt, dass R eine Äquivalenzrelation ist.

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Habe der Vollständigkeit halber die Transitivität doch noch hinzugefügt.

Answer 2

a) Hier musst du prüfen, ob gilt:

Für alle x∈ℚ gilt   xRx

Dazu ist zu überlegen:   x*x ist das Quadrat einer rationalen Zahl

Das stimmt offenbar, weil x*x = x^2 .

b) Hier musst du prüfen, ob gilt:   Für alle x,y∈ℚ gilt

  xRy    ==>     yRx

Dazu ist zu überlegen:

Wenn x*y   das Quadrat einer rationalen Zahl ist, ist es

dann auch  y*x.   Das stimmt offenbar, weil x*y = y*x .

c) Hier musst du prüfen, ob gilt:   Für alle x,y,z ∈ℚ gilt

 xRy  und  yRz    ==>      xRz   .

Dazu ist zu überlegen:

Ist  x*y ist das Quadrat einer rationalen Zahl und  yz auch ,

also gibt es p,q ∈ℚ mit  x*y=p^2 und y*z=q^2

Gilt dann auch, dass es ein r ∈ℚ gibt mit  x*z = r^2 ?

Etwas rechnen zeigt :

x*y=p^2 und y*z=q^2

==>    (x*y)*(y*z)=p^2 *q^2

==>   x*z *y^2 = (p*q) ^2

==>  x*z =  (p*q/y)^2

ABER hier hakt es ! Falls y=0 ist, kann man nicht durch y dividieren

und in der Tat ist ja etwa  √2  * 0  = 0 das Quadrat einer rat. Zahl

und   0*√3 auch, aber  √2 * √3 nicht !

Also ist die Rel. nicht transitiv !

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Die abgeschnittene Zeile könnte mE als

"Auf Q\{0} ist folgende Relation definiert"

gelesen werden.

Aber ich sehe ja auch nicht, was da nicht steht.

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Fragesteller schreibt allerdings: " auf Q ist ."

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Konnte eventuell nichts mit diesen Klammern anfangen oder der Editor hat das "Autokorrektur" aus der Überschrift gefiltert. Im Editor hatte SonGoku gar keinen Fragetext eingegeben, ich habe einfach mal die Überschrift dorthin kopiert und mich gewundert, da die Eingabe unvollständig zu sein scheint.

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Na wenn es ohne 0 ist, dann ist es eben doch transitiv.