Lineare Algebra - Restklassen

Question

Aufgabe: (Voraussetzung: Seien V:= ℝ^3 und U,W ≤ℝ V.)

Zeigen Sie: falls dimk(U)=1, dann ist für jedes veV die Restklasse U+v anschaulich eine Gerade.

Zeigen Sie des Weiteren: Falls dimk(W)=2 ist, dann ist für jedes veV die Restklasse W+v eine Ebene in ℝ^3.

Problem/Ansatz:

Ich benötige einen Lösungsansatz, sodass mir der Zusammenhang, in diesem Beispiel, mit den Restklassen verdeutlich wird.

Comments

Wie wurde bei euch die Begriffe "Gerade" und "Ebene" definiert?

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Die uns bekannte Definition einer Gerade im ℝ^n lautet:

Seien neN, v1,v2eℝ^n mit v1≠v2. Dann ist die Gerade durch v1 und v2 gegeben mit {v1+α*(v2-v1) | αeℝ}.

Für die Ebene im ℝ^3 haben wir leider keine Definition vorliegen. Diese zu finden ist eine unserer weiteren Aufgaben.

Answer 1

Ich würde hier eher von affinen Unterräumen, als von Restklassen sprechen. Gemeint ist

$$ M + v := \left\{ m + v ~\middle\vert~ m \in M \right\} $$

Falls \( \dim(U) = 1 \), hat \( U \) eine Basis der Länge 1, nennen wir den Basisvektor mal \( u \). Jetzt ist

$$ U + v = \left\{ w + v ~\middle\vert~ w \in U \right\} = \left\{ \lambda u + v ~\middle\vert~ \lambda \in \mathbb{R} \right\} =  \left\{ v  +\lambda ((u + v) - v) ~\middle\vert~ \lambda \in \mathbb{R} \right\} $$

Beim zweiten Gleichheitszeichen: Jeder Vektor w in U kann als Linearkombination der Basis dargestellt werden. Also existiert ein \( \lambda \in \mathbb{R} \), s.d. \( w = \lambda u \)

So aber wenn du die letzte Menge jetzt mit \( v_1 = v \) und \( v_2 = u + v \) liest, hast du ja

$$ U + v =  \left\{ v  +\lambda ((u + v) - v) ~\middle\vert~ \lambda \in \mathbb{R} \right\} = \left\{ v_1 +\lambda (v_2 - v_1) ~\middle\vert~ \lambda \in \mathbb{R} \right\} $$

Also eine Gerade.

Für \( \dim(W) = 2 \) geht das ganz ähnlich. Die Ebene durch \( v_1, v_2, v_3 \) ist die Menge

$$\left\{ v_1 +\alpha (v_2 - v_1)  +\beta(v_3 - v_1)~\middle\vert~ \alpha,\beta \in \mathbb{R} \right\} $$