Grenzwert einer Folge berechnen: a_(n+1) = a_n(2-a_n)

Question

hallo ich komm einfach nicht weiter könnte mir bitte jemand erklären und zeigen wie ich die folge (a_n)_n∈ℕ auf Konvergenz prüfen und den Grenzwert angeben kann ?

 

a_n+1 = a_n (2-a_n) wobei a₁ = 1/2

 

Wäre für eine Lösung PLUS Erklärung sehr dankbar!

Lg

Answer 1

Ist schon länger her, ich glaube das nennt man eine Rekursive Folge.

Ich würde jetzt die ersten Folgeglieder berechnen.

a1 = 1/2

a2= 3/4

a3= 15/16

a4= 255/256

jetzt kann man annehmen das die Folge im unendlichen gegen 1 konvergiert.

Comments

Hallo crazy danke dir :-) genau soweit bin ich auch mal gekommen ... kannst du mir weiter helfen ?  lg

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Naja der Grenzwert ist somit 1 was möchtest du denn noch wissen?

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Mein Problem ist der formale Beweis wie man den formalen Beweis korrekt angeht .. ich hab schon öfters im Skriptum nachgeschaut aber das ist mir leider etwas zu spanisch .. lg

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Also zuerst zeigst du das die Folge beschränkt ist mit    an (2-an)<=1(2-1)=1. dabei setzen wir unsere Schranke auf den vermuteten Grenzwert.

so nun zeigst du das die Folge monoton wachsend ist. Mit an+1>=an.  Das kannst du so umformen das da an+1 - an >= 0 steht.

an(2-an) - an
an - an^2 >=0. für an<=1

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Hallo ich bin zwar nicht der Fragesteller aber wie hast du die Folgeglieder berechnet ? bei mir kommt da was anderes raus ?! mfg heinz

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Also bei a1 ist ja n = 1 und a2 ist n+1 und das ist ja das folgeglied also setzt du in die Folge 1/2 für a1 ein.
1/2(2-1/2)=a2

1/2(4/2-1/2)

1/2(3/2)

3/4=a2

und wenn du a3 berechnen willst setzt du a2 ein