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Beweis der Ungleichungskette
Um die gegebene Kette von Ungleichungen zu beweisen, beginnen wir damit, jede Ungleichung einzeln zu betrachten:
1.
\(a^2 \leq \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2\)
Zuerst vereinfachen wir die rechte Seite der Ungleichung. Wir wollen zeigen, dass diese Umformung die Ungleichung erfüllen kann:
\(\left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2 = \frac{4a^2b^2}{(a+b)^2}\)
Da \(a, b \in \mathbb{R}\) und \(0 < a \leq b\), impliziert dies, dass \(a^2b^2\) immer positiv ist. Deshalb können wir die Ungleichung sicher quadrieren:
\(a^2(a+b)^2 \leq 4a^2b^2\)
Wenn wir ausmultiplizieren und kürzen, erhalten wir:
\(a^4 + 2a^3b + a^2b^2 \leq 4a^2b^2\)
Da \(a^2b^2\) auf beiden Seiten der Ungleichung steht, und \(a^4 + 2a^3b\) immer positiv oder null ist (für \(a \geq 0\)), bleibt die Ungleichung wahr. Die Bedingung ist somit erfüllt.
2.
\(\left(\frac{2 ab}{a+b}\right)^{2} \leq ab\)
Um diese zu zeigen, starten wir mit der bereits vereinfachten Form:
\(\frac{4a^2b^2}{(a+b)^2} \leq ab\)
Multiplizieren beider Seiten mit \((a+b)^2\) und Durchteilen durch \(ab\) (da beide positiv sind) gibt uns:
\(4ab \leq (a+b)^2\)
Ausgeschrieben ergibt das:
\(4ab \leq a^2 + 2ab + b^2\)
Da \(4ab - 2ab = 2ab\), und \(a^2 + b^2\) immer größer oder gleich \(2ab\) ist, wenn \(0 < a \leq b\), ist diese Bedingung erfüllt.
3.
\(ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
Diese Ungleichung leitet sich aus dem arithmetischen und quadratischen Mittel ab:
\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \geq ab\)
Dies ist direkt durch die Anwendung des AM-GM (Arithmetisches Mittel - Geometrisches Mittel) Ungleichheit auf \(a\) und \(b\).
4.
\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq b^2\)
Da \(0 < a \leq b\), ist das arithmetische Mittel von \(a\) und \(b\) immer weniger oder gleich \(b\):
\(\frac{a+b}{2} \leq b\)
Quadrieren beider Seiten dieser Ungleichung liefert die gewünschte Beziehung:
\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leq b^2\)
Gleichheitsbedingungen
Wenn an irgendeinem Punkt der Kette das Gleichheitszeichen gilt, würde das implizieren, dass jeder Term gleich jedem anderen Term ist, was nur wahr ist, wenn \(a = b\). Dies liegt daran, dass die Bedingungen für Gleichheit in den AM-GM-Ungleichheiten (und den hier verwendeten algebraischen Manipulationen) nur erreicht werden, wenn alle involvierten Zahlen gleich sind.
