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Seien a,b ∈ℝ mit 0<a≤b.

Zeige, dass gilt:

a2 ≤ ((2ab):(a+b))2

Wie genau kann ich dies nun beweisen? Ich muss noch mehr Ungleichungen mit der gleichen Voraussetzung beweisen, habe aber nicht wirklich eine Idee wie ich das tun soll. Deshalb wäre es sehr nett wenn mir jemand anhand von diesem Beispiel zeigen könnte, wie ich die Aufgabe lösen kann.

Gefragt von

Vom Duplikat:

Titel: Ungleichungskette verschiedener Mittelwerte beweisen

Stichworte: mittelwert,ungleichung,vergleich,beweis,zeigen,analysis

Hallo :)

Ich soll folgende Aufgabe bearbeiten.

Bild Mathematik

Meine Lösungsstrategie wäre gewesen die Ungleichungskette auseinander zu teilen also a² <- H dann H <- G etc. Allerdings stoße ich da beim Umformen schnell auf Probleme weil ich nicht zeigen kann, dass die Terme dann wirklich kleiner sind als 0. (Wenn ich z.B a² - H² rechne in einer Ungleichung).

Hätte jemand eine Idee wie ich das lösen könnte? ^^

Danke im Voraus für Antworten.

Danke :) Hat mir geholfen und konnte den Rest der Aufgabe sogar alleine lösen ^^

3 Antworten

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Beste Antwort

0<a≤b.

a2 ≤ ((2ab):(a+b))2        weil nichts negativ ist, wurzel ziehen

<=> a ≤ (2ab):(a+b)   | *(a+b)

<=>  a(a+b) ≤ 2ab

<=>  a2 +ab ≤ 2ab

<=>  a2 ≤ ab   | : a weil a>0

<=>  a ≤ b   lt. Vor. erfüllt. q.e.d.


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Danke, ich habe jetzt schon 2 andere Gleichungen mit Hilfe deines Beispiels oben beweisen können. Nun scheitert es jedoch an einer letzten Ungleichung.

((2ab):(a+b))2 ≤ (√ab)2

Wenn ich wie oben rechne, dann habe ich entweder eine Wurzel die ich nicht weg bekomme auf der rechten Seite oder auf der linken Seite einen Term der sich kaum vereinfachen lässt. Hast du irgendeinen Tipp für mich wie ich dieses Problem lösen kann? :)

((2ab):(a+b))2 ≤ (√ab)2     

<=> (2ab):(a+b) ≤ √(ab)     | * (a+b)

<=>   2ab  ≤ √(ab) *(a+b)  | :√(ab) 

<=>   2√(ab)   ≤ a+b    | - 2√(ab) 

<=> 0  ≤ a  - 2√(ab)   +b   

<=> 0  ≤ a  - 2√a√b   +b    bino. Formel

< => 0 ≤  ( √a - √b ) 2  

Und das stimmt, weil Quadrate nie negativ sind.  

Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen.

+2 Daumen

 Es gilt dass $$a\leq b \Rightarrow a+b\leq b+b \Rightarrow a+b\leq 2b \Rightarrow \frac{1}{a+b}\geq \frac{1}{ba} \Rightarrow \left (\frac{1}{a+b}\right )^2\geq \left (\frac{1}{2b} \right )^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{(a+b)^2}\geq \frac{1}{4b^2}$$

Wir haben also folgendes $$\left (\frac{2ab}{a+b}\right )^2=\frac{4a^2b^2}{(a+b)^2}\Rightarrow 4a^2b^2\cdot \frac{1}{(a+b)^2}\geq 4a^2b^2\cdot \frac{1}{4b^2}=a^2 \\ \Rightarrow \left (\frac{2ab}{a+b}\right )^2\geq a^2$$

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+1 Punkt

da a<=b ist und a,b>0 gilt auf jeden Fall

$$ a^2<=ab |+ab\\a^2+ab<=2ab\\a(a+b)<=2ab|:(a+b)>0\\a<=\frac { 2ab }{ a+b }|(...)^2\\a^2<=(\frac { 2ab }{ a+b })^2 $$

Beantwortet von 24 k

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