Zeige, dass die Menge N := { x∈R^{n}: f(x)=0 } abgeschlossen ist

Question

Könnte mir jemand mit der Lösung bzw. mit dem Beweis dieser Aufgabe helfen ?

Es sei f:Rⁿ → R stetig und N :=(x∈Rⁿ: f(x)=0). Beweise, dass N abgeschlossen ist.

Ich kenne mich mit der Topologie gar nicht gut aus und weiß nicht wie ich vorgehen kann.

Danke euch !

Answer 1

du brauchst hier nur mit den Definitionen arbeiten. Speziell mit der Defintion von Abgeschlossenheit und der Defnition des Trägers einer Funktion.

Sei \(x_n\) eine beliebige Folge in \(\mathbb{R^n}\), die in \(\mathbb{R^n}\) gegen \(x\) konvergiert und für die gilt \(f(x) = 0\). Dann ist der Grenzwert der Folge \( \lim_{n \to \infty}x_n \in N\). Sei o.B.d.A \(f(x_n) \notin N\). Dann gilt aufgrund der Stetigkeit von \(f\): \( \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(\lim_{n \to \infty}x_n)= f(x) = 0 \Rightarrow x \in N\). Da \(x_n\) beliebig gewählt, folgt die Behauptung \(\square\).

Comments

Vielen Danke sollte man noch was berücksichtigen ? da die Aufgabe 12 Punkte hatte , wundert es mich dass der Beweis so kurz und hübsch ist ^^

könntest du meine obere Frage beantworten ?

ist es nämlich so :

Die Menge ist abgeschlossen → das Urbild ist abgeschlossen

oder

Die Menge ist abgeschlossen ↔ das Urbild ist abgeschlossen

weil das verwirrt mich manchmal :)

Answer 2

Soviel ich weiß,  ist das Urbild einer abgeschlossenen

Menge bei einer stetigen Abbildung abgeschlossen.

N ist das Urbild der einelementigen Menge {0}, die ist

abgeschlossen.

Comments

Ist es nicht so dass das Urbild abgeschlossen ist , wenn die Menge abgeschlossen ist , allerdings nicht andersrum ? also wir können nicht sagen dass die Menge abgeschlossen ist nur weil das Urbild abgeschlossen ist oder?

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N ist doch das Urbild von {0}.

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Ach so jetzt habe ich verstanden was du meinst sorry :) also quasi betrachtest du Unsere Menge N als Urbild der Menge 0 und wenn 0 abgeschlossen ist , ist N auch abgeschlossen oder? Der Ansatz gefällt mir sehr ehrlich gesagt aber muss man nicht irgendwie zeigen dass 0 abgeschlossen ist ? ich weiß es ist schon trivial aber manchmal ist es noch schwieriger triviale Sachen zu beweisen :/ vor allem wenn die Aufgabe 12 Punkte hat , würde ich behaupten dass man sowas auch beweisen muss

könntest du uns damit weiterhelfen ?

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{0} ist wie jede einelementige Teilmenge von R abgeschlossen.

Kann man etwa so beweisen:

ℝ \ {0} ist offen, denn sei x ∈ ℝ \ {0}

dann liegt die ε-Umgebung von x mit Radius ε = |x| /2 vollständig

in ℝ \ {0}. . Das kann man notfalls noch mit der

Dreiecksungleichung beweisen.