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Beweis der Aussagen
Zu (1): Existenz und Eindeutigkeit von q und r bei Division mit Rest
Gegeben sei eine ganze Zahl \(a\) und eine natürliche Zahl \(m\). Die Aufgabe ist zu zeigen, dass es eindeutige \(q, r \in \mathbb{Z}\) gibt mit \(a = qm + r\) und \(0 \leq r < m\). Dies ist bekannt als Division mit Rest.
Um die Existenz zu zeigen, nutzen wir die "Methode des kleinsten Verbrechers" in Bezug auf |a|, basierend auf dem Wohlordnungssatz, der sagt, dass jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen ein kleinstes Element hat.
Betrachten wir die Menge \(S = \{a - qm : q \in \mathbb{Z}\}\) und suchen das kleinste nicht-negative Element in \(S\), nennen wir es \(r\). \(S\) enthält nicht-negative Elemente, da für \(q = a / m\) (die Division ist nicht notwendigerweise exakt), \(a - qm = r\) in einigen Fällen positiv und in anderen negativ sein kann. Durch Anpassen von \(q\) (erhöhen oder verringern) kann \(r\) so gewählt werden, dass \(0 \leq r < m\), da \(m\) die Grenze für einen Rest in der Division ist.
Die Eindeutigkeit beweisen wir durch Widerspruch. Nehmen wir an, es gäbe zwei verschiedene Darstellungen \(a = qm + r\) und \(a = q'm + r'\) mit \(0 \leq r, r' < m\). Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei \(r > r'\). Dann erhalten wir \(qm + r = q'm + r'\), was zu \(m(q - q') = r - r'\) führt. Da \(r - r' < m\) (weil beide kleiner als \(m\) und verschieden sind), muss \(q - q' = 0\) und somit \(r = r'\) sein, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt, dass \(r\) und \(r'\) unterschiedlich sind.
Zu (2): Rm(ℤ) bildet keinen Körper, wenn m keine Primzahl ist
Ein Körper ist eine algebraische Struktur, in der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (außer durch 0) immer möglich sind und wohldefinierte Ergebnisse liefern.
Wenn \(m\) keine Primzahl ist, sagen wir \(m = ab\) mit \(1 < a, b < m\), dann müssen wir zeigen, dass \(Rm(\mathbb{Z})\) unter dieser Bedingung keinen Körper bildet.
Das Kernproblem ist die Existenz von multiplikativen Inversen. Für jedes \(x \in Rm(\mathbb{Z})\), wenn \(x\) ein multiplikatives Inverses besitzt, dann gibt es ein \(y \in Rm(\mathbb{Z})\) sodass \(x *_{m} y = xy \mod m = 1\).
Betrachten wir jedoch \(a\) und \(b\) als oben definiert, dann ist \(a *_{m} b = ab \mod m = 0\) (weil \(m = ab\)), was bedeutet, dass sowohl \(a\) als auch \(b\) keine multiplikativen Inversen in \(Rm(\mathbb{Z})\) haben können, da ihre Produkt modulo \(m\) Null ergibt und nicht Eins, wie es für inverse Elemente erforderlich wäre.
Somit hat \(Rm(\mathbb{Z})\), wenn \(m\) keine Primzahl ist, Elemente ohne multiplikatives Inverses, was eine essenzielle Anforderung für die Definition eines Körpers ist. Daher kann \(Rm(\mathbb{Z})\) unter diesen Bedingungen keinen Körper bilden.
