Eigenvektor einer 2x2 Matrix mit komplexen Einträgen

Question

Aufgabe:

Berechne Eigenwert und eigenspace der folgenden Matrix:
$\begin{pmatrix} i & i-2 \\ 1 & -i \end{pmatrix}$

Problem/Ansatz:

Als Eigenwert habe ich: +- $\sqrt{i-3}$
Wenn ich nun das Gleichungssystem probiere zu lösen, erhalte ich für +$\sqrt{i-3}$ :
$(i- \sqrt{i-3})x1 + (i-2)x2 =0$
$x1 +(-i- \sqrt{i-3})x2 =0$

Die 2. Zeile mit i-$\sqrt{i-3}$  multiplizieren ergibt mir für beide Zeilen das Gleiche:
$(i- \sqrt{i-3})x1 + (i-2)x2 =0$
$(i- \sqrt{i-3})x1 + (i-2)x2 =0$
Nun streicht sich eine Zeile weg und ich stehe mit:
$(i- \sqrt{i-3})x1 + (i-2)x2 =0$ da.
Das lässt sich nicht schön auflösen. Ist da ein Rechenfehler oder muss ich ein x als einen riesigen hässlichen Term ausdrücken?

Answer 1

Ich finde auch keinen Fehler. Entweder war der

Fehler in der Aufgabenstellung oder der

Mammutterm als Ergebnis war gewünscht.