Zeigen Sie, dass T1 Teilraum des C^3 ist. T1={(a,b,c)€C^3|2a - b=0}, T2={(a,b,c)€C^3|ab-c^2=0}

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Mengen

$$ T_{1}=\left\{\left[\begin{array}{l} {a} \\ {b} \\ {c} \end{array}\right] \in \mathbb{C}^{3} | 2 a-b=0\right\} \subseteq \mathbb{C}^{3}, \quad T_{2}=\left\{\left[\begin{array}{l} {a} \\ {b} \\ {c} \end{array}\right] \in \mathbb{C}^{3} | a b-c^{2}=0\right\} \subseteq \mathbb{C}^{3} $$

a) Zeigen Sie, dass \( T_{1} \) ein Teilraum des \( \mathbb{C}^{3} \) ist.

b) Zeigen Sie, dass die Menge \( \mathcal{B}=\left\{\left[\begin{array}{c}{1} \\ {\frac{2}{0}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{0} \\ {0} \\ {i}\end{array}\right]\right\} \) linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von \( T_1 \) bildet. Folgern Sie, dass \( \mathcal{B} \) eine Basis von \( T_1 \) ist.

c) Bestimmen Sie die Dimension von \( T_{1} \).

Comments

c) Die Dimension von T1 ist 2, denn 2a-b= 0 ist eine Ebenengleichung.

Zweite Begründung: Die Basis von T1 besteht aus 2 Vektoren, wie in b) gezeigt wurde.

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Bei a) musst du vor allem zeigen, dass T1 abgeschlossen ist bezüglich Linearkombinationen von Elementen von T1.

Answer 1

bei a) gilt zu zeigen, dass \( 0 \in T_1 \), der Nullvektor also zu \( T_1 \) gehört. Dies ist trivialerweise erfüllt. Ebenso ist eigentlich trivial zu zeigen, dass \( T_1 \) abgeschlossen bezüglich Vektoraddition ist, sprich dass für zwei Vektoren \( x \) und \( y \), die in \( T_1 \) liegen auch deren Vektorsumme \( x+ y \) in \( T_1 \) liegt.

Bei b) führen nur Linearkombinationen der Elemente von \( B \) zum Nullvektor, wenn die gewählten Koordinaten (in \( \mathbb{C} \)) 0 sind, mit anderen Worten sind die Elemente von \( B \) linear unabhängig.

Da sich alle Elemente in \( T_1 \) auf Linearkombinationen von Elementen in \( B \) zurückführen lassen (das kann auch formal gezeigt werden), ist \( B \) ein Erzeugendensystem von \( T_1 \). Da \( B \) minimal viele Elemente hat (nämlich 2), ist es eine Basis (ein minimales Erzeugendensystem).

c) Die Dimension von \( T_1 \) ist daher 2. Beachte, dass \( T_1 \) als \( \mathbb{C} \)-Vektorraum betrachtet wird und seine Dimension daher 2 ist. Als \( \mathbb{R} \)-Vektorraum betrachtet ist 4 die Dimension von \( T_1 \).

MfG

Mister