Arctangens / Bijektivität

Question

Zeigen Sie, dass die folgende Funktion bijektiv ist: f:R\{−3}→(-π/2,π/2)\{π/4}, x→arctan x .

Wie muss ich allgemein an solch einer Aufgabe rangehen?

Ganz normal wie in Analysis 1 zeigen, dass es injektiv und surjektiv ist? Oder ist an solch einer Aufgbe mehr dran als gedacht?

Könnte mir einer bitte dabei helfen. Will diese Aufgabe echt verstehen.

!!

Answer 1

zeigen, dass es injektiv und surjektiv ist?  Ja !

Allerdings vermute ich, dass es

f:R\{1}→(-π/2,π/2)\{π/4}

       x→arctan x .

heißen muss.

Denn  arctan(1)= π/4

Ich würde erst mal  zeigen, dass

f1:R →(-π/2,π/2)    x→arctan x

bijektiv ist.  Injektiv ist ja klar

wegen der Monotonie, die aus f1 ' positiv

folgt.

Surjektiv wegen lim  f1(x) ür x gegen ±∞ ist ±π/4

und der Stetigkeit von f1.

Und wegen  arctan(1)= π/4 iost also auch

f bijektiv,

Comments

Vielen Dank für die Antwort!

Aber tatsächlich lautet die Aufgabe so wie ich die geschrieben habe .

Das heißt , dass die -3 nicht mit dabei ist. Habe auch den Graphen dazu gesehen.

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Dann ist es aber gar keine Abbildung; denn

es ist 1 in der Def. menge aber

durch  x→arctan x .wird der

1 ja pi/4 zugeordnet, das ist aber nicht in der

Zielmenge. Bei einer Abbildung muss aber

jedem El. der Def.menge (genau) ein Element der

Zielmenge zugeordnet sein.