Bestimmen Sie die vollständige Lösungsmenge des LGS.

Question

Gegeben ist folgendes LGS über ℝ:

x₁ − x₂ = 0,
x₁ + x₂ + 2 · x₃ = 0 und
2 · x₁ − 2 · x₂ = 0.
(a) Bestimmen Sie die Koeffizientenmatrix und rechnen sie nachvollziehbar den Rang aus. Was wissen Sie jetzt über die Lösungsmenge?
(b) Bestimmen Sie die vollständige Lösungsmenge des LGS.

Ansatz:

Die Koeffizientenmatrix würde laut unserer Definition A = \( \begin{pmatrix} 1 & 1&2 \\ -1 & 1&-2 \\ 0&2&0 \end{pmatrix} \) A = Rg(2) und da die erweiterte Koeffizientenmatrix mit (0,0,0) erweitert werden würde, wäre die ja auch Rg(2) dementsprechend gibt es eine Lösung für das LGS? Soweit würde ich das ganze denken.

Wie ermittelt man jetzt aber genau die Lösungsmenge?

Comments

Deine Koeffizientenmatrix ist falsch, vgl. meine Antwort.

Answer 1

Hallo Marie,

Die Koeffizientenmatrix ist

⎡ 1  -1  0 ⎤
⎢ 1   1  2 ⎥
⎣ 2  -2  0 ⎦

LGS:

⎡ 1  -1  0 | 0⎤
⎢ 1   1  2 | 0⎥
⎣ 2  -2  0 | 0⎦

Gauß Algorithmus:

⎡ 1  -1  0 | 0 ⎤
⎢ 0   2  2 | 0 ⎥  Z2 - Z1 
⎣ 0   0  0 | 0 ⎦  Z3 - 2*Z1

⎡ 1  -1  0 | 0 ⎤
⎢ 0   1  1 | 0 ⎥ Z2 : 2
⎣ 0   0  0 | 0 ⎦

Z3 →  x₃ kann man beliebig wählen, nennen wir es c

Z2 →  x₂ = - x₃ = -c

Z1 →  x₁ = x₂ = -x₃ = -c

Lösungsmenge = { (-c , -c, c) | c∈ℝ }

Gruß Wolfgang