Freier Fall mit Stokeschen Reibungskraft (DGL)

Question

 

bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe komme da einfach nicht mehr weiter und wäre auch nett wenn jemand feedback zur a.) geben könnte.

Aufgabe:

Wir betrachten den freien Fall eines Körpers bei Vorliegen einer (Stokeschen) Reibungskraft.
Die zugehörige Differentialgleichung lautet :

m*y´´(t) = - α y´(t) - m*g .

Hierbei bezeichnet m die Masse des Körpers, α > 0 den Reibungskoeffizienten und g die Fallbeschleunigung.
Die Anfangsbedingungen seien y(0) = y₀ und y´(0) = v₀ .

a.) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung.

b.) Finden Sie mit Hilfe des Ansatzes y_s (t) = a*t +b eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

c.) Geben Sie die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung an und passen Sie die darin enthaltenen Integrationskonstanten den Anfangsbedingungen an.

Problem/Ansatz:

a.)

m*y´´(t) = - α * y´(t) - m*g
⇔ y´´(t) = - α/m * y´(t) -g = -( α/m * y´(t) +g)

u(t) = α / m * y´(t) +g 
u´(t) = dy´´(t)

⇒ y´´(t) = m/α * u´(t)


⇒ m/α * u´(t) = - u(t)

u´(t) = -α/m * u(t) 

Lösung : c * e ^-(α*t)/m 

Also : 

u(t) = c*e ^-(α*t)/m = g + α * y´(t)

=> y´(t) = v_y (t) = m/α ( c* e ^-(α*t)/m  -g) = - m *g /α  + m/α * c_v  * e ^-(α*t)/m 
y(t) = -(m*g*t) /α -  (c_v * m²)/α²  * e ^-(α*t)/m   + c_y 

So das wäre meine a.)    über feedback würde ich mich sehr freuen.
bei der b.) und c.) weiß ich leider gar nicht wie Ich vorgehen soll.



Liebe Grüße
Hans

Answer 1

Hallo

die homogene Dgl hast du nicht behandelt, sie ist y''=-α*y'

oder v'=--α*v Lösung durch Trennung der Variablen

damit v=y'=C*e-αt und damit y(t)=C/(-α)e-αt+C2 oder y(t)=C1*e-αt+C2

jetzt für den einhomogenen Teil den gegebenen Ansatz benutzen: y=at+b, y'=a, y''=0 in die Dgl einsetzen daraus a bestimmen, b beliebig, wir mit C2 zu C3 vereint.

allgemeine Lösung der inh= allgemeine Lösung der homogenen + die spezielle der inh. aus b. darin die Anfangsbedingungen einsetzen um C1 und C3 zu bestimmen.

Gruß lul