Aufgabe: Fuer $$\Omega=C_{\beta} \subset \mathbb{R^2}$$ and $$\beta \in(0,2\pi)$$
sei $$K_{\beta}=\left\{(r\cos(\phi),r\sin(\phi))\in\mathbb{R^2}|0<r<1,|\phi|<\frac{1}{2}\beta\right\}$$
und
$$\hspace{3.85cm}u(r\cos(\phi),r\sin(\phi))=\frac{\beta^2}{9\beta^2-\pi^2}(r^3-r^{\frac{\pi}{\beta}})\cos(\frac{\pi}{\beta}\phi)$$ .
Problem/Ansatz:
$$ Wann \ \ gilt \ \ u \in C^{1,\gamma}(\overline K_\beta) \ \ mit \ \ \gamma \in(0,1] \ \ ?$$
Ich habe jetzt die partiellen Ableitungen nach r berechnet , weiss aber nicht , wie man das dann im mehrdimensionalen zeigt .
$$u_r(r\cos(\phi),r\sin(\phi))=\frac{\beta^2}{9\beta^2-\pi^2}(3r^2-\frac{\pi}{\beta}r^{\frac{\pi}{\beta}-1})\cos(\frac{\pi}{\beta}\phi) $$
$$u_{rr}(r\cos(\phi),r\sin(\phi))=\frac{\beta^2}{9\beta^2-\pi^2}(6r-\frac{\pi}{\beta}(\frac{\pi}{\beta}-1)r^{\frac{\pi}{\beta}-2})\cos(\frac{\pi}{\beta}\phi)$$
