Trigonometrische Gleichung auflösen: sin(x) + √3 cos(x) = 2

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung für 0° ≤ x < 360° und stellen Sie sie im Einheitskreis dar.

$$\sin (x)+\sqrt{3} \cos (x)=2$$

Answer 1

ich habe eine schöne graphische "Lösung" (nicht vollständig bewiesen) für das Problem gefunden.

 

Dazu zeichne ich den Einheitskreis \(e\) (schwarz) und einen beliebigen Punkt \(X\) auf \(e\). Die Gerade durch den Ursprung \(O\) und Punkt \(X\) spannt ausgehend von der horizontalen Nulllline \(h\) (schwarz) den Winkel \(x\) (blau) auf. \(X'\) ist die Projektion von \(X\) auf die Nulllinie. Dann lassen sich der Cosinus (rot) und der Sinus (gelb) wie gewohnt einzeichnen. Der blaue Kreis \(d\) hat den Durchmesser \(|OP|=\sqrt 3\). Die Gerade durch \(OX\) schneidet \(d\) in \(Y\). Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke \(\triangle OX'X\) und \(\triangle OYP\) folgt, dass $$|OY| = \sqrt 3 \cdot |OX'| = \sqrt 3 \cdot \cos(x)$$An die Strecke \(OY\) addiert man noch das Stück \(|X'X|=\sin(x) = |YF|\) und kommt so zum Punkt \(F\). Die Strecke \(|OF|\) ist dann $$|OF| = F(x) = \sin(x) + \sqrt 3 \cdot \cos (x)$$Bewegt man nun den Punkt \(X\) auf dem Einheitskreis (d.h. der Winkel \(x\) wird verändert), so liegt die resultierende Bahn von \(F\) auf einem Kreis \(k\) (rot) mit Radius \(1\) (und somit Durchmesser \(2\)) dessen Mittelpunkt \(M\) der Schnittpunkt von \(e\) mit der \(30°\)-Linie durch \(O\) ist (rote Strich-Punkt-Linie). \(k\) berührt den Kreis um \(O\) mit Radius \(2\) im Punkt \(F_{\max}\), der ebenso auf der \(30°\)-Linie liegt.

Damit ist gezeigt, dass es für die Gleichung $$\sin(x) + \sqrt 3 \cdot \cos(x) = 2$$ genau eine Lösung \(x=30°=\pi/6\) gibt.

Alternative analytische Lösung: Substitution \(x=z+a\) mit (noch) unbekannten \(a\). Einsetzen gibt:$$\begin{aligned} 2 &= \sin(z+a) + \sqrt 3 \cos(z+a) \\ &= \sin(z)\cos(a) + \cos(z)\sin(a) + \sqrt 3 \left( \cos(z)\cos(a) - \sin(z)\sin(a)\right) \\ &= \sin(z) (\underbrace{ \cos(a) - \sqrt 3 \sin(a)}_{\to 0} ) + \cos(z) \left( \sin(a) + \sqrt 3 \cos(a)\right)\end{aligned}$$Die Variable \(a\) wird nun so gewählt, das der Faktor bei \(\sin(z)\) zu \(0\) wird. Daraus folgt:$$\cos(a) = \sqrt 3 \sin(a) \implies \tan(a) = \frac 13 \sqrt 3 \implies a = \frac \pi 6$$Einsetzen von \(a\) in obige Gleichung gibt $$2 = 2 \cos(z) \implies z = 0 \implies x = \frac \pi 6$$ Gruß Werner

Answer 2

Eine Möglichleit wäre:

sin(x) + √3 cos(x)=2  | -sin(x)

√3 cos(x) =2 -sin(x) |(..)^2

3 cos^2(x)= 4 -4 sin(x) +sin^2(x)

allg gilt: sin^2(x) +cos^2(x) =1

cos^2(x)= 1- sin^2(x)

3( 1-sin^2(x) = 4 -4sin(x) +sin^2(x)

zusammenfassen und dann substituieren z=  sin(x) , weiter mit der pq Formel

Dann resubstituieren, Probe machen , wegen Scheinlösungen

Lösung:

x=π/6 +2kπ ; k∈G ---->x=30°

Answer 3

Teile durch 2 und erhalte

\(\frac{1}{2}sin(x)+\frac{\sqrt 3}{2}cos(x)=1\)

Kommen dir die Werte bekannt vor?

cos(60°)sin(x)+sin(60°)cos(x)=1

Additionstheorem:

sin(x+60°)=1

x=30°