Beweise per Widerspruch: Die leere Menge ist eindeutig.

Question

wie im Titel beschrieben ist die Aufgabe;


Beweise per Widerspruch:
Die leere Menge ist eindeutig.


Wie mache ich das genau?

Answer 1

Angenommen, die leere Menge wäre nicht eindeutig. Dann gibt es $$\varnothing_1, \varnothing_2 \subset M$$ einer beliebigen Menge M, da die leere Menge in jeder Menge enthalten ist. Dann ist die Potenzmenge von M $$P(M) = \{\{\varnothing_1\}, \{\varnothing_2\}\}$$, was aber nicht sein kann, da

$$|X| = 0 \Rightarrow |P(X)| = 2^{|X|} = 2^0 = 1$$ einer beliebigen Menge X, P(M) aber zwei Elemente enthält.

^^ nicht so elegant, würde ich sagen. Geht bestimmt besser. Warte lieber noch auf andere Antworten.

Answer 2

Angenommen es gibt 2 leere Mengen, die nicht gleich sind. Dann gibt es in der einen ein Element, was nicht in der anderen enthalten ist. Widerspruch.