Volumenproblem. f(x)=4/(x+1) rotiert um y-Achse

Question

\( f:[0,10] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \frac{4}{x+1} \)

Der Graph von \( \mathrm{f} \), die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung \( \mathrm{x}=10 \) begrenzen ein Flächenstück. Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, der bei Rotation dieses Flăchenstückes um die \( y \) -Achse erzeugt wird.

Ich komme immer auf 12.62 VE. Im Lösungsbuch steht 191 VE.

Answer 1

Siehe wikipedia:

https://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper#Bei_Rotation_um_die_y-Achse

$$ 2\pi\int_0^{10}x \cdot \frac{4}{x+1}dx =2 \pi (40 - 4 Log(11)) \approx 191$$

mfg

sigma

Comments

erklär mir mal bitte wann ich diese formel benutze

---

Steht doch bei Wikipedia:

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden x=a und x=b begrenzt wird, gilt die Formel:

Answer 2

Die Rechnung ist gelöscht, weil ich die Aufgabe falsch verstanden habe.

Comments

Das ist Unfug.

Der Drehkörper ist kein Zylinder, das korrekte Volumen ist - wie bereits in der ersten Antwort angegeben - gerundet 191,1 VE

---

Ach so ist das gemeint. Es handelt sich also um die oberhalb von y=4/11. Nun dann...

---

Lass es doch einfach! Es ist nicht Aufgabe der Helfer Antworten gegen zu prüfen! Wenn Du eine in der Fragestellung (!) vorgegebene Lösung nicht erreichst, braucht es eine Argumentation, warum dem so ist. Ganz besonders, wenn eine weitere Antwort das bestätigt.

Das Forum ist die falsche Spielewiese um wenig elegante Lösungswege zu präsentieren oder kommentarlose Antworten in 10 Jahre alten Fragen zu hinterlassen, deren Mehrwert nicht nur wegen der Antwort an sich in Frage gestellt werden muss, sondern auch (wie mehrfach betont!) in Frage zu ziehen ist, wer das noch liest.

---

Es ist so gemeint, wie's in der Aufgabe steht, Interpretationen sind nicht nötig. Welche Rolle sollte sonst der Graph spielen?

Bleibt die Antwort jetzt so stehen?

---

Ach so ist das gemeint. Es handelt sich also um die oberhalb von y=4/11. Nun dann...

Auch das ist falsch. Einfach mal die Aufgabe lesen.

Bleib besser bei den Steckbriefaufgaben…

---

So sieht das Objekt der Begierde =  Rotationskörper aus:

Answer 3

Wenn es um eine Schulaufgabe geht, kennt man dort die Formel für die Rotation um die y-Achse noch nicht. Daher hier, wie es ein Schüler normalerweise lösen sollte.

Schnittpunkte mit der y-Achse und der Geraden x = 10 berechnen.

f(0) = 4/(0 + 1) = 4
f(10) = 4/(10 + 1) = 4/11

Umkehrfunktion bilden, damit wir wie gewohnt um die x-Achse drehen können.

y = 4/(x + 1) → x = 4/y - 1 → f^-1(x) = 4/x - 1

Jetzt das rotierende Flächenstück berechnen.

A1 = pi·10^2·4/11 = 400/11·pi

A2 = ∫ (4/11 bis 4) pi·(4/x - 1)^2 dx = 480/11·pi - 8·LN(11)·pi

A = A1 + A2 = 80·pi - 8·pi·LN(11) = 8·pi·(10 - LN(11)) = 191.06 FE