3 Vektoren im R^4. Sind diese linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Folgende Vektoren sind gegeben: v1=(40, 78, 30, -79) ; v2=(84, -25, -8, -61) ; v3=(-99, 62, 81, -25)

Wie kann ich mit nur 3 drei Vektoren die lineare Unabhängigkeit nachweisen?

Answer 1

Wenn man die v's als Matrix schreibt

\(\left(\begin{array}{rrr}40&84&-99\\78&-25&62\\30&-8&81\\-79&-61&-25\\\end{array}\right) X = 0\)

und Gausst ===>

\(\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\\\end{array}\right) | 0\)

x=0, y=0,z =0

sind also lin. unabhängig

Hätte man lin. abh. Vektoren z.B.

{3 v2+v3,v2,v3} ===>

\(\left(\begin{array}{rrr}153&84&-99\\-13&-25&62\\57&-8&81\\-208&-61&-25\\\end{array}\right) X = 0\)

würde Gauss ergeben ===>

\(\left(\begin{array}{rrr}1&0&1\\0&1&-3\\0&0&0\\0&0&0\\\end{array}\right)|0\)

{{x = -z, y = 3 * z, z = z}}

und man hätte für beliebige z eine lin. Kombi gefunden...

Answer 2

Bilde das lin. Gleichungssystem

x*v1+y*v2+z*v3 = 0-Vektor

und prüfe, ob es außer x=y=z=0 noch andere

Lösungen gibt. Dann wären sie lin. abhängig.

Comments

Vielen dank für die Antwort, dies habe ich bereits schon probiert und erhalte ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 3 Unbekannten. dadurch lassen sich aber variablen nicht auflösen.