Sind die Vektoren im R-Vektorraum R6 linear unabhängig?

Question

Aufgabe: Sind die Vektoren im R-Vektorraum R6 linear unabhängig?

v1(\( \begin{pmatrix} 1\\i\\0 \end{pmatrix} \)

v2\( \begin{pmatrix} 1+i\\-i\\1-2i \end{pmatrix} \)

v3\( \begin{pmatrix} i\\1-i\\2-i \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich diese Vektoren aus K3 in R6 umwandeln soll um die lineare Unabhängigkeit zu prüfen. Ich w eiß, dass man die Vektoren in den imaginären und den reellen Teil zerlegen muss aber habe keine Lösungsvorschläge und bin ratlos.

Wäre über jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Man kann  ja ℂ als Vektorraum über ℝ mit ℝ^2 identifiezieren

und somit auch ℂ^3   als mit  ℝ^6 .

Dann hast du

v1 \(  \begin{pmatrix} 1\\i\\0 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\1\\0\\0 \end{pmatrix}  \)

v2\(  \begin{pmatrix} 1+i\\-i\\1-2i \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\-1\\1\\-2 \end{pmatrix}   \)         etc.

Comments

Danke, aber mir erschließt sich nicht genau, wie ich auf die 6 verschiedenen Werte komme :/

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Je 2 komponenten für ein komplexe Zahl, also

aus 1+i wird
1
1

aus -i = 0-i wird

0
-1

etc.

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Das heißt

v3 ( 0,1,1,-1,2,-1) ?

Damit stelle ich dann ein LGS auf und muss es lösen um die lineare Unabhängigkeit zu bestimmen. Richtig?

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Ja, so würde ich es machen.

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Vielen lieben Dank!