Beweisen, dass für jede natürliche Zahl n >= 4: 2^n < n! gilt.

Question

Könnt ihr mir weiterhelfen?

Zeigen Sie, dass für jede natürliche Zahl n ≥ 4
2^n < n! gilt.

Mein Gedanke:

2^4 < 4! = 16 < 24      für n=4

2^5 < 5! = 32 < 120    für n=5

Reicht es wenn ich einfach Zahlen ab 4 einsetze?

Answer 1

Na wenn du es bis Montag schaffst, es für alle Zahlen von 4 bis unendlich zu überprüfen schon, ansonsten vielleicht mal vollständige Induktion versuchen.


Induktionsschritt:

$$2^{n+1} < (n+1)!$$

$$2^n \cdot 2 < n! \cdot (n+1)$$

$$2^n < n! \cdot \frac{(n+1)}{2}$$

Wenn nach der Annahme 2^n für n >= 4 schon kleiner als n! ist, dann ist 2^n erst recht kleiner für n! mal eine Zahl > 1 und da n >= 4, ist (n+1)/2 auch mindestens 5/2 > 1.

Comments

Hahaha danke :D

Kannst du mir kurz erklären wieso zb im ersten Schritt ein "+1" und im 2. Schritt ein "•2" hinkommt?

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a^b+c = a^b * a^c (Potenzgesetz)

Also

2ⁿ⁺¹ = 2ⁿ * 2¹ = 2ⁿ * 2

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Keine Ursache :-D