Produktzeichen. Für jede natürliche Zahl beweisen das dieses Produkt gilt.

Question

Ich soll beweisen, dass K>1 gilt für jede natürliche Zahl

aber leider wird nicht geschrieben "wie", finde beweisen leider immer recht schwer.

Danke

EDIT(Lu). Bild aus Kommentar eingefügt.

Comments

Die Frage ist unvollständig.

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Sry das stimmt! Komme da manchemal selbst durcheinander!  Hier das richtige!
vielleicht kann man das andere löschen?

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Schon mit Induktion über K probiert?

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Wie macht man Induktion "über" K? Ich kenne wohl das normale Induktionsverfahren wo man n+1 und so rechnet?

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Das bedeutet einfach nur, dass K die relevante Induktionsgröße ist. Damit ist gemeint, dass du den Anfang für ein geeignetes K machst und im Induktionssschritt von der Gültigkeit der Gleichung für K auf die Gültigkeit der Gleichung für K+1 schließt.

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Man kann das Produkt auch direkt berechnen. Alles außer \(\frac1K\) kürzt sich zu \(1\).

Answer 1

∏ (l = 2 bis K) (1 - 1/l) = 1/K

Du machst eine Normale Induktion. Nur das du jetzt statt n ein K hast. Also zunächst für das kleinste K zeigen und dann für alle folgenden.

Induktionsanfang: K = 2

∏ (l = 2 bis 2) (1 - 1/l) = 1/2

(1 - 1/2) = 1/2 --> stimmt.

Induktionsschritt: K --> K + 1

∏ (l = 2 bis K + 1) (1 - 1/l) = 1/(K + 1)

∏ (l = 2 bis K) (1 - 1/l) * (1 - 1/(K + 1))= 1/(K + 1)

1/K * ((K+1)/(K+1) - 1/(K+1)) = 1/(K + 1)

1/K * (K/(K+1)) = 1/(K + 1)

1/(K + 1) = 1/(K + 1)

wzbw

Comments

Was ist hier die Induktionsvorauss. oder hab ich die überlesen?

Danke nochmal

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Die steht ganz oben

∏ (l = 2 bis K) (1 - 1/l) = 1/K 

Das ist deine Induktionsannahme. Das ist es ja eigentlich was du zeigen willst. Du darfst es aber für K annehmen um zu zeigen das es dann für K + 1 gilt.