Für |z|<1/2, z in C Grenzwert der Doppelreihe (m über n)z^m berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie für \(z\in\mathbb{C}\) mit \(|z|<\frac{1}{2}\) den Grenzwert der Doppelreihe \(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\sum \limits_{m=0}^{\infty}\begin{pmatrix} m\\n \end{pmatrix}z^m\).
Hinweis: Wir verwenden hier die Konvention \(\begin{pmatrix} m\\n \end{pmatrix}=0\), falls \(n>m\).

Problem/Ansatz:

Müsste man nur die Summe \(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\sum \limits_{m=n}^{\infty}\begin{pmatrix} m\\n \end{pmatrix}z^m\) betrachten, weil \(\sum \limits_{m=0}^{n-1}\begin{pmatrix} m\\n \end{pmatrix}z^m=0\)? Wie rechnet man den Grenzwert aus? Habe noch nicht so viel Ahnung wie man mit Doppelsummen/Doppelreihen am besten umgeht, gibt es dabei ein paar Tricks?

Answer 1

Tipp: \(\displaystyle2^m=(1+1)^m=\sum_{n=0}^\infty\binom mn\).

Comments

Könntest du mir erklären wie man die Gleichung herleiten kann/wo sie her kommt?

Es gilt dann also \(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\sum \limits_{m=0}^{\infty}\begin{pmatrix} m\\n \end{pmatrix}z^m=\sum \limits_{m=0}^{\infty}2^mz^m=\frac{1}{1-2z}\) wegen geometrischer Reihe. Stimmt das so?

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Hab's selber raus gefunden, die Gleichung folgt aus dem binomischen Lehrsatz.
Bleibt mir nur noch die Frage ob der Grenzwert stimmt.