Nullstellen, Polynom das über Z/11Z drei Nullstellen hat, usw. Beispiel finden

Question

Aufgabe:

Betrachte Polynome f ∈ R[x] mit ganzzahligen Koeffizienten.

Gibt es solches Polynom f, das uber Z/11Z drei Nullstellen hat, über R vier Nullstellen
und über ℂ fünf Nullstellen?

Problem/Ansatz:

Ich hab schon viel ausprobiert aber finde leider kein geeignetes Polynom...

zb.:

f(x) = x⁵- x

Das hätte bei ℂ 5 Nullstellen.

Bei Z / 11 Z hätte es mit x₁ = 0, x₂ = 1 und x₃ = 10 genau 3 Nullstellen.

Problem ist leider nur ℝ, denn da hätte es mit x₁ = 0, x₂ = -1 und x₃ = 1, nur 3 Nullstellen.

Hab auch schon viele andere Sachen probiert aber es scheitert leider immer entweder an Z / 11 Z oder an ℝ...

Hätte jemand einen Tipp bzw. gibt es den einen Weg ohne wild rumprobieren?

Comments

(x-1)(x-2)(x-3) in Z11

(x^2-1) mit -+1 in R, 1 ist bereits Nullstelle in Z11, also 4 Nullstellen

(x^2+1) in C, i als 5. Nullstelle

Alles zusammen multipliziert könnte dein Polynom ergeben.

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Die Aufgabe ist wohl nur dann eine Aufgabe, wenn mit "n Nullstellen" tatsächlich "genau n Nullstellen" gemeint ist !

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Problem ist nur leider das es hier in R auch nur 3 Nullstellen sind.

So wie ich die Aufgabe verstanden habe, müssen es jeweils 3 in Z/11Z, 4 in R und 5 in C sein.

Also man muss die getrennt betrachten.

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Wieso sind es in R nur 3 Nullstellen?

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Also wenn ich mich nicht irre, sind es doch:

x₁ = 1, x₂ = 2 und x₃ = 3 oder nicht?

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Ich kann dir zwar nicht weiterhelfen...

aber hänge gerade zufällig bei der selben aufgabe^^

kannst du mir bitte sagen, was du bei der a und der b gemacht hast?

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Bin nicht sicher ob es richtig ist, aber bei der a, hab ich das Polynom x^3 + x genommen. Die Aufgabe b mach ich auch grad noch :D

Answer 1

Hallo

 ich denke 5 Nullstellen in C und 4 in R geht nicht. damit es 5 ist in C hat muss es 5 ten Grades sein, wenn es 4 ist in R hat, kann man durch ihr Produkt dividieren, es bleibt ein Pol vom Grad 1 mit einer weiteren Nullstelle.

oder in C gibt es zu jeder Nullstelle auch die konjugiert komplexe, bei 5 Nst, muss mindestens eine reell sein, oder 3 reell und eine echt komplexe mit der konj. komplexen. Deshalb ist das Problem unlösbar. Die Frage ist ja auch "gibt es" und nicht konstruiere ein solches.

 Gruß lul