Aufgabe:
Gegeben sei das Vektorfeld \(\displaystyle\vec{F}(x,y)=(2xy,x^2+y^2)\) und der Viertelkreis V im \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)
\(\displaystyle V=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2\leq 4, 0\leq x\leq 2, y\geq 0\}\).
Berechnen Sie das Flächenintegral \(\displaystyle\int_{V}^{}div\vec{F}(x,y)d(x,y)\) direkt und mit Hilfe des Satzes von Gauß
\(\displaystyle\int_{V}^{}div\vec{F}(x,y)d(x,y)=\int_{\partial V}^{}<\vec{F}(x,y),\vec{n}(x,y)>df(x,y)\).
Ansatz:
Linke Seite: \(\displaystyle div\vec{F}=2y+2y=4y\)
\(\displaystyle x=\sqrt{4-y^2}, y=y\)
\(\displaystyle\int_{V}^{}div\vec{F}(x,y)d(x,y)=\int_{0}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-y^2}}4ydxdy=\int_{0}^{2}4y\sqrt{4-y^2}dy=[-\frac{4}{3}(4-y^2)^\frac{3}{2}]_0^2=\frac{32}{3}\)
Rechte Seite: \(\displaystyle\partial V=\{(2cost,2sint)|0\leq t\leq\frac{\pi}{2}\}\)
Daraus folgt: \(\vec{F}=(2xy,x^2+y^2)=(8costsint,4)\)
\(\displaystyle\vec{n}=\frac{\dot y\vec{e_x}-\dot x\vec{e_y}}{\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}}=\frac{(2cost,2sint)}{\sqrt{4sin^2t+4cos^2t}}=(cost,sint)\)
Daraus folgt: \(\displaystyle df=2dt\)
\(\displaystyle\int_{\partial V}^{}<\vec{F}(x,y),\vec{n}(x,y)>df(x,y)=\int_{0}^{\pi /2}(8costsint,4)\cdot (cost,sint)2dt=\int_{0}^{\pi /2}(8cos^2tsint+4sint)2dt=[2(-\frac{8}{3}cos^3t-4cost)]_0^{\pi /2}=2(\frac{8}{3}+4)=\frac{40}{3}\)
Beide Ergebnisse unterscheiden sich um \(\displaystyle\frac{8}{3}\). Wo liegt mein Rechen- oder Denkfehler?
