0 Daumen
1,8k Aufrufe

Aufgabe:

Gesucht ist der Brennpunkt und die Leitlinie der Parabel aus der Kegelschnittgleichung

3x^2-30x+9y+63=0


Problem/Ansatz:

Ich habe schon den Scheitelpunkt berechnet. Der liegt bei (5|(4/3))

Wie bestimme ich nun Brennpunkt und Leitlinie?

Avatar von

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo Solberg,

Formt man die Gleichung nach \(y\) um, so erhält man$$y = -\frac 13 (x-5)^2 + \frac 43$$woraus Du schon richtig die Position des Scheitelpunktes \(S\) mit \(S=(5|\, 4/3)\) abgelesen hast.

Der Abstand \(z\) des Brennpunkts vom Scheitelpunkt ist $$z=\frac 1{4a}$$wobei \(a\) hier \(a=-1/3\) ist (und nicht \(-3\)) also ist$$z = \frac 1{4a} = \frac 1{4 \cdot \left( -\frac 13\right)} = - \frac 34$$Demnach ist die Position des Brennpunkts \(F\)$$F = \begin{pmatrix} 5\\ 4/3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ -3/4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7/12\end{pmatrix}$$und die Leitline der Parabel ist genau so weit von \(S\) entfernt, nur eben auf der anderen Seite. Demnach ist die Y-Koordinate \(y_L\) der Leitlinie$$y_L = \frac 43 - \left(- \frac 34\right) = \frac{25}{12}$$

~plot~ (-(x-5)^2+4)/3;{5|4/3};[[-3|9|-5|3]];25/12;{5|7/12} ~plot~

Gruß Werner

Avatar von 48 k
0 Daumen

3x²-30x+9y+63=0

x²-10x=-3y-21

x²-10x+25=-3y+4

(x-5)²=-3y+4


Hilft das weiter?

Avatar von 53 k 🚀

Nein, das hilft mit leider nicht. Ich hatte versucht, über die Formel z=1/4A das Zentrum relativ zum Scheitelpunkt zu bestimmen, komme aber damit zum falschen Ergebnis...

0 Daumen

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F3+(-21+%2B+10+x+-+x%5E2)&lk=1&assumption=%22ClashPrefs%22+-%3E+%7B%22Math%22%7D

bestätigt A(5 | 4/3) .

Die Parabel ist nach unten geöffnet.

Von B kennt man die x-Koordinate. Sie ist 5.

Avatar von 162 k 🚀

Gilt bei dieser Parabel denn auch b=1/(4A) ?  Also b=1/12

Dann wäre der Brennpunkt ja (relativ zum Scheitelpunkt) bei

(5|15/12)

und die Leitlinie g=17/12

Laut Grafiktaschenrechner ist die Leitlinie allerdings bei 25/12

Wo liegt mein Fehler?

Was ist denn A ?

a = -1/3

f = 1/(4a) = 1/(-4/3)  = -3/4

Nun komme ich auf

4/3 - 3/4 = 16/12 - 9/12 = 7/12 (Brennpunktkoordinate (vertikal) )

und

4/3 + 3/4 = 16/12 + 9/12 = 25/12 Leitlinie y = 25/12

A ist der Vorfaktor von x^2 also 3

Habe oben inzwischen weitergerechnet.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community