Zeigen Sie: Falls −1 ∈ Spek(α^2+α) ist, dann ist 1 ∈ Spek(α^3).

Question

Seien K ein Körper und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und es sei α ∈ End_K(V).

Zeigen Sie: Falls −1 ∈ Spek(α²+α) ist, dann ist 1 ∈ Spek(α³).

Comments

Wofür steht Spek genau? Spektrum ?

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Ja das steht für Spektrum, hab bei dieser Aufgabe leider überhaupt keinen Ansatz, wie ich hier vorzugehen habe.

Answer 1

Nach Voraussetzung gibt es ein v ∈ V mit (α² + α)v = -v.
Es folgt 0 = α³v + α²v + αv = α³v - v.
Es ist also α³v = v, woraus die Behauptung folgt.