Zeigen Sie, dass a/b<c/d =>a/b<(a+c)/(b+d)<c/d

Question

wie kann ich zeigen, dass folgendes gilt :
a,b,c,d ∈ Κ, b,d > 0

a/b < c/d => a/b < (a+c)/(b+d) < c/d.

Wäre euch dankbar, wenn Ihr mir da weiterhelfen könnt :D .

Comments

und das habe ich noch vergessen,
K sei ein angeordneter Körper.

Answer 1

$$\frac { a }{ b } <\frac { c }{ d } \wedge b,d>0$$
Erweitern mit db (ohne Probleme, da db gemäß Voraussetzung positiv ist) und Kürzen:
$$=>ad<bc$$Multiplikation mit d:
$$=>add<bcd$$
Addition von abd:
\(=>abd+add<abd+bcd\) und wegen \(ad<bc\) gilt auch: \(abd + bcd < bbc + bcd\) also insgesamt:
$$=>abd+add<abd+bcd<bbc+bcd$$
Ausklammern:
$$=>ad(b+d)<(a+c)bd<bc(b+d)$$
Dividieren durch \(bd(b+d)\):
$$=>\frac { ad(b+d) }{ bd(b+d) } <\frac { (a+c)bd }{ bd(b+d) } <\frac { bc(b+d) }{ bd(b+d) }$$
Kürzen:
$$=>\frac { a }{ b } <\frac { (a+c) }{ (b+d) } <\frac { c }{ d }$$
q.e.d

Comments

ah okay habs verstanden danke dir =)