Beweis im komplexen: p\neq0, x+,x-\in\mathbb{C} \, mit \, x\pm2=p

Question

Aufgabe:

$$Ist \,p\neq0,\, dann\, gibt\, es\, genau\, zwei\, x_{+},x_{-}\in\mathbb{C} \, mit \, x_{\pm}^{2}=p$$

Comments

Mittlerweile eine Idee?

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Hi!

Ich komme im Moment zu nichts. Ich muss lange arbeiten und habe abends keine Zeit. Ich werde mich mal an Blatt 5 wagen. Ich weiß aber nicht wie viel Zeit ich habe. Ich arbeite Vollzeit und schreibe auch noch an meiner Promotion.

Ich habe in Otto Forster einen Beweis für die Folge $$(\frac{n}{2^n})_{n\ge0}$$ gefunden. Den kannst du als Beispiel heranziehen.

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Diese Nullfolgen machen mich krank!

Answer 1

Hallo,

sei $p = r \exp(i\varphi)$.

Dann sind über

$x_+ = \sqrt{r} \exp\left( i\frac{\varphi}{2} \right)$,
$x_- = \sqrt{r} \exp\left( i(\pi + \frac{\varphi}{2}) \right)$

die beiden Lösungen von $x^2 = p$ gegeben.

Grüße

Mister