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Beweis: Ist \(p≠0\), so gibt es genau zwei \(x_+\) und \(x_-\) mit \(x^2_\pm=p\) mit \(p\in \mathbb{C}\)

Meine Idee:

Für \(p>0\) gilt \((\sqrt{p})^2=p\).

Für \(p<0\) gilt \((i\cdot \sqrt{|p|})^2=i^2\cdot (\sqrt{|p|})=-1|p|=p\) und

\((-i\cdot \sqrt{|p|})^2=(-1)^2\cdot i^2\cdot (\sqrt{|p|})^2=1\cdot (-1)\cdot |p|=p\)

\(\Box\)

Ist das bereits genug?

von 15 k

1 Antwort

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Hallo,

nein das reicht nicht aus. Eine Fallunterscheidung nach p>0, p<0 macht keinen Sinn, da es in der komplexen Zahlenebene keine Ordnungsrelation gibt. Du hast außerdem die zweite Lösung -sqrt(p) vergessen.

Besser:

Setze p=a+ib und berechne nun explizit

x^2=(x_1 + i*x_2)^2 =a+ib

Multipliziere links aus und vergleiche Real und Imaginärteil.

Dabei ergibt sich eine reelle quadratische Gleichung, auf die du die bekannte reelle pq-Formel anwenden kannst. (Es hängt natürlich auch davon ab, was ihr bisher bereits gezeigt habt und verwenden dürft, mit der Exponentialform geht es ganz schnell).

von 33 k

Meinst du so?

p:=a+ib

x^2=(x_{1}+i·x_{2})^2=a+ib

⇔ \(x_{1}^2+2i·x_2·x_1-x_{2}^2=a+ib\)

⇔ \((x_{1}^2-x_{2}^2)+i\cdot(2x_2x_1)=a+ib\)

Dann habe ich doch als GS

\(a=x_{1}^2-x_{2}^2\)

\(b=(2x_2x_1)\)

Was bringt mir das?

Jetzt ist das Gleichunggsystem  zu lösen. Gesucht sind x_1 und x_2.

Wie man das am geschicktesten macht, steht hier:

https://www.tutorsonnet.com/square-root-of-complex-numbers-homework-help.php

(Es ist dort x_1 =x und x_2 =y anders bezeichnet)

Am Ende kommt man auf zwei Lösungen.

Das kommt mir ziemlich komplex vor für so eine Aufgabenstellung (Badumtsss). Aber mal ehrlich, die Aufgabe gibt zwei Punkte.

Wenn x_1 und x_2 exisiteren (bzw. ermittelt wurden), dann ist die Behauptung bewiesen, oder was?

Deswegen habe ich dich gefragt, was ihr bereits bisher gezeigt habt. Wenn ihr die Wurzel schon definiert habt,

dann reduziert sich die Aufgabe zu

x^2=p |sqrt(...)

x=±sqrt(p)

;)

oder auch

x^2-p=0

(x+sqrt(p))(x-sqrt(p))=0

und Satz von Null Produkt

Das finde ich clever mit dem Satz vom Nullprodukt, ich weiß leider nicht, wie groß der Spielraum ist.

Aber das ist ja eine sehr logische Schlussfolgerung, wenn man weiß, dass \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\) und \(\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=|a|\)

Beachte: sqrt(a)*sqrt(a)=sqrt(a)^2=a

Aber ist nicht \(\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=\sqrt{a\cdot a}=\sqrt{a^2}=|a|\)?

Ah, ne. Alles gut :'-)

Im komplexen muss man vorsichtig mit den Potenzgesetzen sein.

Beispielsweise ist

i^2=-1

Aber sqrt(i^4)=sqrt(1)=1

Irgendwie bringt mich das alles nicht weiter.

Hallo! Ich hatte diese Woche auch keine Zeit. Der Tipp des Tutors für 4 i:

Fallunterscheidung - einmal für $$ p\in\mathbb{R} $$ und dann für  $$p\in \mathbb{C}\backslash\mathbb{R}$$ Teilt für die zweite Aussage in Realteil und Imaginärteil auf und verwendet die Aussagen, die ihr im ersten Teil trefft - ihr müsst die Ausdrücke nicht explizit berechnen.

In Aufgabe (ii) müsst ihr nur einsetzen.

Aufgabe (ii) nur einsetzen? Leichter ist es doch direkt herzuleiten.

So der Tipp.

Ich habe hier etwas gefunden: https://www.mathe-online.at/mathint/komplex/i.html (aussage 32 und 51)

Der Satz von Vieta und der Fundamentalsatz der Algebra.

Auch hier http://mathoid.de/data/documents/Komplexe-Zahlen.pdf ab Seite 24.

Hier findest du auch etwas und zur Aufgabe 5.

https://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen/_Quadratische_Gleichungen

Müssen dann aber bewiesen werden; es wäre sehr "unmathematisch" Dinge anzunehmen, die in der Vorlesung noch nicht bewiesen worden sind oder man vorher beweist. Mit der Aufgabe haben viele Probleme.

Ich hatte diese Woche keine Zeit das Skrip zu lesen.

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