Gleichung im Komplexen !

Question

bräuchte ganz mal Hilfe. Und zwar soll ich Gleichungen im Komplexen lösen.

Aufgabe:

Für welche z ∈ C ist ...

b) z*z^quer=4 und | z+1+√3i | = 4

c) z*z^quer-3iz^quer=1+3i

a) z² + |z| = 0

(z^quer  soll einfach nur heißen Strich über dem Z :) )

Also:

z= x+yi und z^quer= x-yi, dann hätte ich diese jeweils eingesetzt und dann? und was passiert mit dem i? schreibt man das mit in die Rechnung? nach was löse ich auf?

Danke schon mal im Voraus :D

Answer 1

hallo

"z= x+yi und z^quer= x-yi, dann hätte ich diese jeweils eingesetzt und dann? und was passiert mit dem i? schreibt man das mit in die Rechnung? nach was löse ich auf?"

es gilt i^2 = -1

die klammern kannst du wie gewöhnlich ausmultiplizieren bzw. hier ist es die dritte binomische formel und dann berücksichtigst du einfach das i^2 = -1 ist:

(x+yi)(x-yi) = x^2-(yi)^2 = x^2-y^2(i^2) = x^2-y^2(-1) = x^2+y^2

Comments

gut dass passt dann soweit....

und wie ist das  wenn |z| also die a? danke ;)

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a = 1+√3i = Re(a) + Im(a)

z = x + yi = Re(z) + Im(z)

| z+a | = √( (Re(a)+Re(z))^2 + (Im(a)+Im(z))^2 ) = 4

⇒ (Im(a)+Im(z))^2 = 0

⇒ Im(a)+Im(z) = 0

⇒ Im(z) = -Im(a) = -√3i

⇒ √( (Re(a)+Re(z))^2 ) = 4

Re(a)+Re(z) = 4

Re(z) = 4-Re(a) = 4-1 = 3

z = 3 -√3i

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ok.

bei der c) komme ich immer bei einem bestimmten punkt nicht weiter:

....

x²-y²(i)² - 3i(x-yi) =1+3i

x²+y²-3i(x-yi) = 1+3i

x²+y²-3xi+3y(i)² = 1+3i

x²+y²-3xi-3y =1+3i   und hier hängts wie gehts weiter nach was auflösen?

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z=x+yi
z* = x-yi
zz* -3iz* = 1+3i
x^2 + y^2 - 3i(x-iy) = 1+3i
x^2 + y^2 - 3y - 3xi = 1 + 3i

betrachte imaginärteil und realteil separat.

- 3xi = 3i ⇒ x = -1

x^2 + y(y-3) = 1
1^2 + y(y-3) = 1
y(y-3) = 0
y₁ = 0, y₂ = 3

z₁ = -1
z₂ = -1 + 3i
 

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danke für deine Hilfe!! war wirklich sehr hilfreich....

vllt kannst du mir auch was zu dem Thema sagen, hab da wirklich meine Probleme mit :(


gegeben seien die abbildungen:

f:C \{0} → C: z → z+1/z,

g:C \{0} → C: z → z+i/z

sowie Menge: A={z ∈ C|   |z|=1}

1. Zeichne f(A) und g(A) in die komplexe Ebene

2. Bestimmt { arg(z) |z ∈ C∧f(z)=1}

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guck mal hier

https://www.mathelounge.de/63338/abbildungen-im-komplexen