Funktion approximieren durch taylorpolynom 2. Ordnung.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Abbildung f : \( ℝ^{2} \)  → ℝ (\( \vec{x} \) =\( (x, y)^{T} \) ) mit:

f(\( \vec{x} \))= \( e^{y} \)+\( x^{3} \)+\( y^{3} \)+\( x^{2} \)-1

und approximieren Sie diese durch das Taylorpolynom zweiter Ordnung

T2 (\( \vec{h} \); x0):= f(\( \vec{x0} \))+\( (grad f(\vec{x0}))^{T} \)\( \vec{h} \)+ \( \frac{1}{2} \)\( \vec{h}^{T} \)Hess f(\( \vec{x0} \))\( \vec{h} \)

an der Stelle \( (x_0,1, x_0,2)^{T} \)  = \( (0, 0)^{T} \)

Problem/Ansatz: Ich verstehe die Aufgabe nicht so richtig. Muss ich jetzt nur noch alles berechnen , um in das taylorpolynom einsetzten zu können?

Answer 1

ja du musst prinzipiell nur in die Formel einsetzen. Aber das ist eigentlich nicht notwendig. Die Funktion separiert sich in die Summe zweier Funktionen, die jeweils nur von x bzw. y abhängen.

f(X)=h(x)+g(y) mit f(x)=x^3+x^2-1 und g(y)=e^y+y^3

Es reicht also auch die eindimensionale Taylorreihen von f(x) und g(y) aufzustellen und auf zu addieren.

h(x)≈x^2-1 , da nur bis Terme 2ter Ordnung gegangen werden soll

g(y)≈1+y+y^2/2 gemäß bekannter Taylorreihe der Exponentialfunktion.

--> f(X)≈x^2-1 +1+y+y^2/2=x^2+y+y^2/2

Comments

Aber was soll ich dann mit dem Punkt machen?

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Und ich verstehe nicht wie man auf die Darstellung für h(x) kommt