Taylorpolynome 2. und 4. Ordnung mit Entwicklungspunkt

Question

Aufgabe:

Berechne für f: [0, ∞[ → ℝ, f(x) = √x, die Taylorpolynome 2. und 4. Ordnung mit Entwicklungspunkt x0=1. Schätzen Sie den Approximationsfehler des Taylorpolynoms 2. Ordnung für |x-1|≤1/2 ab.

Berechne √1.1 näherungsweise mit T₂ und T₄ und vergleiche mit dem exakten Wert (gebe mindestens 8 Nachkommastellen an).

Answer 1

Aloha :)

Zunächst bestimmen wir die Ableitungen:$$f(x)=x^{1/2}=\sqrt x\quad\Rightarrow\quad f(1)=1$$$$f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt x}\quad\Rightarrow\quad f'(1)=\frac{1}{2}$$$$f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}=\frac{1}{4x\sqrt x}\quad\Rightarrow\quad f''(1)=-\frac{1}{4}$$$$f'''(x)=\frac{3}{8}x^{-5/2}=\frac{3}{8x^2\sqrt x}\quad\Rightarrow\quad f'''(1)=\frac{3}{8}$$$$f''''(x)=-\frac{15}{16}x^{-7/2}=-\frac{15}{16x^3\sqrt x}\quad\Rightarrow\quad f''''(1)=-\frac{15}{16}$$

Jetzt setzen wir sie in die Taylor-Reihe $f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty f^{(n)}(x_0)\,\frac{(x-x_0)^n}{n!}$ ein:

$$\sqrt x\approx1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{2!}\cdot\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{1}{3!}\cdot\frac{3}{8}(x-1)^3-\frac{1}{4!}\cdot\frac{15}{16}(x-1)^4$$$$\Rightarrow\;\;T_4[\sqrt x]=1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^2+\frac{1}{16}(x-1)^3-\frac{5}{128}(x-1)^4$$$$\Rightarrow\;\;T_2[\sqrt x]=1+\frac{1}{2}(x-1)-\frac{1}{8}(x-1)^2$$

Das Restglied für $T_2[\sqrt x]$ lautet:$$R_2[\sqrt x]=\left|\frac{f'''(c)}{3!}(x-1)^3\right|=\left|\frac{3}{3!\cdot8c^2\sqrt c}(x-1)^3\right|=\left|\frac{1}{16c^2\sqrt c}(x-1)^3\right|$$Das Maximum dieses Restglieds für $|c-1|\le\frac{1}{2}$ bzw. $\frac{1}{2}\le c\le\frac{3}{2}$ finden wir bei möglichst kleinem $c$, also bei $c=\frac{1}{2}$. Das heißt:$$R_2[\sqrt x]\le\left|\frac{1}{16\cdot\frac{1}{4}\sqrt{\frac{1}{2}}}(x-1)^3\right|=\frac{\sqrt2}{4}(x-1)^3$$

Jetzt noch die Berechnung für $x=1,1$:$$\sqrt{1,1}\;\;= 1,04880885$$$$T_2[\sqrt x]=1,04875000$$$$T_4[\sqrt x]=1,04880859$$