Lokale Extrema im mehrdimensionalen Raum bestimmen

Question

Aufgabe:

Die Abbildung f:{(x,y)∈\( ℝ^{2} \)|y≥1} → ℝ sei definiert durch

f(x,y)=\( x^{y} \) , falls x≠0

f(x,y)=0, falls x=0

Bestimmen sie alle lokalen Extrema von f.

Problem/Ansatz:

Ich habe den Punkt x=1, y=0 als einzigen kritischen Punkt ermittelt. Nach Betrachtung mittels Hess-Matrix ist dies aber kein Extremum.
Nun weiß ich aber, dass die Funktion wohl ein Minimum haben soll. Aber wie zeige ich das?
Für x=0 erhalte ich als Hess-Matrix die Nullmatrix, wodurch dort ja auch kein Extremum vorliegt.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen, wo in der Funktion ein Minimum vorliegt und wie ich dies zeigen kann.

Answer 1

Ich dachte die kritische Stelle ist

\(Exy \, :=  \,  \left\{ x = 1, y = 0 \right\} \)

\(H \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}0&1\\1&0\\\end{array}\right)\)

det(H)<0 ===> Sattel

Comments

Ah ja, stimmt...

Aber wieso sagte man mir, es gäbe ein lokales Minimum?

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f: {(x,y)∈R² | y≥1 } → ℝ

Da passt der kritische Punkt (1|0) wohl nicht!

Lästigerweise hat f für x ∈ ℝ^- auch komplexe Werte.

vgl. auch

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+x%5Ey+,+y+%3E%3D1

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Ah okay

Vielen Dank!

Aber dann hat die Funktion ja gar keine Extrema, oder?

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Ahh, da hast Du mich aber aufs Glatteis geführt ;-)

Das WA ergebnis ist nicht besonders plausibel - sieht nach einer numerischen Phantomlösung aus, da sie sich auch bei jedem neuen Aufruf ändert. Der Graph der Funktion (in GeoGebra und WA) deutet auch nicht auf weitere kritische Punkte hin, wenn ich mein Fenster etwas aufziehe...

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Das WA ergebnis ist nicht besonders plausibel - sieht nach einer numerischen Phantomlösung aus, ...

Das sehe ich auch so!