Hallo, für den Gradienten gilt folgendes:
\(\displaystyle\nabla f(x,y)=\begin{pmatrix} 2xe^{-(x^2+y^2)}-2x(x^2+2y^2)e^{-(x^2+y^2)}\\4ye^{-(x^2+y^2)}-2y(x^2+2y^2)e^{-(x^2+y^2)} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\)
Daraus folgt \(\displaystyle2xe^{-(x^2+y^2)}-2x(x^2+2y^2)e^{-(x^2+y^2)}=0\) und \(\displaystyle4ye^{-(x^2+y^2)}-2y(x^2+2y^2)e^{-(x^2+y^2)}=0\).
Nun ist die Exponentialfunktion nie gleich Null, sodass man durch diese teilen darf.
Damit vereinfachen sich die Gleichungen zu \(\displaystyle2x-2x(x^2+2y^2)=0\) und \(\displaystyle4y-2y(x^2+2y^2)=0\).
Aus der ersten Gleichung folgt x=0.
In die zweite eingesetzt: \(y(2-2y^2)=0\).
Das wird durch y=0 und \(y=\pm1\) gelöst.
Aus der zweiten Gleichung oben folgt separat y=0.
Eingesetzt in die erste liefert \(x(1-x^2)=0\).
Das wird durch x=0 und \(x=\pm1\) gelöst.
Als mögliche Extrempunkte musst du nun (0,0), (0,1), (0,-1), (1,0), (-1,0) betrachten.
Als Ergebnis solltest du ein Minimum und zwei Maxima erhalten.
