Antwort mit KI erzeugt
Partielle Elastizitäten, totales Differential
Zunächst die gegebene Produktionsfunktion:
\(f(A, K) = 2,5 \cdot A^{0,6} \cdot K^{0,4}\)
Teil (a)
Die partielle Elastizität der Produktion bezüglich des Arbeitseinsatzes \(A\) (bei konstantem \(K\)) ist definiert als der Prozentsatz, um den sich der Output ändert, wenn der Input \(A\) um 1% erhöht wird. Diese lässt sich berechnen als:
\(\varepsilon_A = \frac{\partial f}{\partial A}\cdot\frac{A}{f(A, K)}\)
Die partielle Ableitung von \(f\) nach \(A\) ergibt:
\(\frac{\partial f}{\partial A} = 2,5 \cdot 0,6 \cdot A^{-0,4} \cdot K^{0,4}\)
Einsetzen zum Finden von \(\varepsilon_A\):
\(\varepsilon_A = (2,5 \cdot 0,6 \cdot A^{-0,4} \cdot K^{0,4}) \cdot \frac{A}{2,5 \cdot A^{0,6} \cdot K^{0,4}}\)
Kürzen ergibt:
\(\varepsilon_A = 0,6\)
Die prozentuale Änderung des Outputs bei einer 2% Erhöhung des Arbeitseinsatzes ist einfach \(0,6 \cdot 2\% = 1,2\%\).
Teil (b)
Entsprechend ist die partielle Elastizität der Produktion bezüglich des Kapitaleinsatzes \(K\) (bei konstantem \(A\)):
\(\varepsilon_K = \frac{\partial f}{\partial K}\cdot\frac{K}{f(A, K)}\)
Die partielle Ableitung von \(f\) nach \(K\) ist:
\(\frac{\partial f}{\partial K} = 2,5 \cdot 0,4 \cdot A^{0,6} \cdot K^{-0,6}\)
Einsetzen ergibt \(\varepsilon_K\):
\(\varepsilon_K = (2,5 \cdot 0,4 \cdot A^{0,6} \cdot K^{-0,6})\cdot\frac{K}{2,5 \cdot A^{0,6} \cdot K^{0,4}}\)
Kürzen führt zu:
\(\varepsilon_K = 0,4\)
Die prozentuale Änderung des Outputs bei einer 2% Erhöhung des Kapitaleinsatzes ergibt sich somit als \(0,4 \cdot 2\% = 0,8\%\).
Teil (c)
Für die absolute Änderung der Produktionsfunktion an der Stelle \(A=1, K=1\), verwenden wir das totale Differential der Funktion \(f\):
\(df = \frac{\partial f}{\partial A}dA + \frac{\partial f}{\partial K}dK\)
Mit \(dA=0,02A\) und \(dK=0,02K\) für eine 2%-ige Erhöhung von \(A\) und \(K\) und bereits berechnete partielle Ableitungen, erhalten wir bei \(A=1\) und \(K=1\) die partiellen Ableitungen:
\(\frac{\partial f}{\partial A}|_{(1,1)} = 2,5 \cdot 0,6 = 1,5\)
\(\frac{\partial f}{\partial K}|_{(1,1)} = 2,5 \cdot 0,4 = 1\)
Somit beträgt das totale Differential:
\(df = 1,5dA + 1dK\)
Mit \(dA=dK=0,02\) (2%-ige Erhöhung entspricht einer Multiplikation mit 0,02, da \(A=1\) und \(K=1\) sind), berechnen wir:
\(df = 1,5 \cdot 0,02 + 1 \cdot 0,02\)
\(df = 0,03 + 0,02\)
\(df = 0,05\)
Die absolute Änderung von \(f\) an der Stelle \(A=1, K=1\) bei einer 2%-igen Erhöhung sowohl von \(A\) als auch von \(K\) beträgt somit 0,05 Einheiten des Outputs.
