Wähle als Ansatz für die Funktion zwischen 0 und 1 - nennen wir sie mal g - z.B. ein Polynom. Das f soll stetig diffbar sein, insbesondere also selbst stetig. Das führt zu den Bedingungen
g(0)=f(0)=0,g(1)=f(1)=1
Polynome sind stetig diff'bar. Um für f stetige Differenzierbarkeit zu erhalten müssen wir also zusätzlich nur noch
g′(0)=f′(0)=1,g′(1)=f′(1)=−1
fordern, wie du schon richtig gesagt hast. Wir kennen für g also 4 Eigenschaften, das wird uns i.A. zu einem Polynom mit Grad 3 führen: g(x)=ax3+bx2+cx+d. Wir erhalten das LGS
da+b+c+dc3a+2b+c=0=1=1=−1
Das musst du jetzt lösen. Kontrollergebnis: g(x)=−2 · x3+2 · x2+x
Skizze Funktion:
Plotlux öffnen f1(x) = (x<0)·sin(x)+(x>0)·((-2)·x3+2·x2+x)·(x<1)+(x>1)·1/xZoom: x(-5…3) y(-2…2)
Skizze Ableitung:
Plotlux öffnen f1(x) = (x<0)·cos(x)+(x>0)·((-6)·x2+4·x+1)·(x<1)+(x>1)·-1/x2Zoom: x(-1…2) y(-2…2)