Aussagen / differenzierbare Funktion

Question

Aufgabe:

Sei $f$ eine differenzierbare Funktion auf $\mathbb{R}$.
Wählen Sie unter den folgenden Aussagen jene aus, die wahr sind.

1- Ist $f$ statt auf $\mathbb{R}$ nur auf $[a, b]$ für $a, b \in \mathbb{R}$ definiert und erreicht $f$ ein Extremum in $x_{0} \in[a, b]$, so gilt $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$.

2- Ist $f^{\prime}(x)>0$ für alle $x \in \mathbb{R}$, so ist $f$ streng monoton wachsend.

3- Erreicht $f$ in $x_{0}$ ein lokales Extremum, so gilt $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$.

4- Ist $f$ auf $\mathbb{R}$ streng monoton wachsend, so gilt $f^{\prime}(x)>0$ für alle $x \in \mathbb{R}$.

5- Gilt $f^{\prime}(x) \leq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$, so ist $f$ streng monoton fallend.

6- Existiert ein $x_{0}$ mit $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$, so besitzt $f$ in $x_{0}$ ein lokales Maximum oder Minimum.

Kann mir jemand helfen, die richtigen Antworten auszuwählen?

Comments

Mach mal Vorschläge mit Begründungen!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

zu 1) FALSCH

Betrachte die Funktion $f(x)=x$. Sie hat überall die Ableitung $f'(x)=1$. Wenn wir sie auf das Intervall $x\in[0;1]$ einschränken, hat sie ein Randmaximum bei $f(1)=1$. Die Ableitung ist dann bei $x=1$ nicht nur ungleich Null, sondern gar nicht definiert, weil es keinen rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten gibt.

zu 2) WAHR

zu 3) WAHR

$f'(x_0)=0$  ist eine notwendige Voraussetzung für ein Extremum.

zu 4) WAHR

zu 5) FALSCH

Betrachte die Funktion $f(x)=0$. Ihre Ableitung ist $f'(x)=0$, also insbesondere $f'(x)\le0$. Die Funktion ist aber konstant.

zu 6) FALSCH

Betrachte die Funktion $f(x)=x^3$. Ihre Ableitung $f'(x)=3x^2$ hat eine Nullstelle bei $x_0=0$. Aber die Funktion hat bei $(x_0=0)$ einen Schnittpunkt mit der $x$-Achse, also kein Extremum.